Szinusztétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Jelölések a háromszögben

A szinusztétel egy geometriai tétel, miszerint egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. Tehát

$\frac{a}{b} \ = \ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$

vagy (ritkábban)

$a\,:\,b\,:\,c \;=\; \sin\,\alpha\;:\;\sin\,\beta\;:\;\sin\,\gamma$

A szinusztétellel ekvivalens az az állítás, miszerint bármely háromszögben egy oldal hosszának és a szemközti szög szinuszának aránya állandó (tehát ez az arány független attól, hogy melyik oldalra és vele szemközti szögre írjuk fel). Ez az állandó nem más, mint az adott háromszög körülírt köre átmérőjének reciproka:

$\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1{2R}$

ahol R a körülírt kör sugara.

[szerkesztés] Bizonyítás

A szokásos jelöléssel élve (lásd az ábrát) legyen T a c oldalhoz tartozó magasság talppontja (a c oldal és a hozzá tartozó magasságvonal metszete) és legyen a CT magasságszakasz hossza m. Ekkor az ATC illetve a CTB derékszögű háromszögben felírva az α illetve a β szög szinuszát kapjuk, hogy

$\sin\alpha=\frac{m}{b}$ és $\sin\beta=\frac{m}{a}$

Ezt a két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\;\cfrac{m}{b}\;}{\cfrac{m}{a}}=\frac{m}{b}\cdot\frac{a}{m}=\frac{a}{b}$

Szinusztétel bizonyítása

A kicsit többet mondó, a körülírt kör sugarát tartalmazó állítás bizonyítása pedig: a körülírt kör O (az ábrán S) középpontját véve, az OBC (SAB) háromszög egyenlőszárú lesz, hisz OB = OC = R (SA=SB=r); s ezért ennek O (S) ponthoz tartozó magasságavonala (egyébként ez a BC = a (AB=c) oldal felezőmerőlegese) felezi az a (c) oldalt. Legyen az a = BC (c=AB) oldal felezőpontja F, ekkor az OFC (SFA) háromszög derékszögű (hisz elmondtuk, hogy OF (SF) merőleges BC = a-ra (AB=c-re)); és O-nál (S-nél) lévő szöge a jelen állítástól függetlenül bizonyítható kerületi és középponti szögek tételéből adódóan α (γ). Felírva ebben a háromszögben e szög szinuszát: $\sin(\alpha) = \frac{FC}{OC} = \frac{\frac{a}{2}}{R} = \frac{a}{2R}$ ( $\sin(\gamma) = \frac{AF}{SA} = \frac{\frac{c}{2}}{r} = \frac{c}{2r}$ ). Ebből már adódik, hogy ezt a mennyiséget a-val (c-vel) osztva, épp $\frac{1}{2R}$ -t kell kapnunk. Eredményünket az a (c) oldal megválasztásától függetlenül kaptuk, tehát érvényes a b, c (a, b) oldalakra is. QED.

[szerkesztés] Másik bizonyítás

Trigonometrikus területképletből: $T=\frac{a\ c\ \sin\ \beta}{2}=\frac{b\ c\ \sin\ \alpha}{2} \rightarrow a\ \sin\ \beta = b\ \sin\ \alpha$ , tehát $\frac{a}{b}= \frac{\sin\ \alpha}{\sin\ \beta}$ .

[szerkesztés] Alkalmazások

A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából – két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül – meghatározhatjuk a hiányzó negyediket. A nagyobb oldallal szemközti szög meghatározásakor két megoldást is kaphatunk, mert egy adott (1-nél kisebb) szinuszértékhez egy hegyes- és egy tompaszög is tartozik, ezért mindig mérlegelni kell, melyik megoldás jó.