התפלגות ריילי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

התפלגות ריילי
פונקציית צפיפות ההסתברות

פונקציית ההסתברות המצטברת

מאפיינים
פרמטרים	$\ \sigma$
תומך	$\ [0,\infty)$
פונקציית צפיפות ההסתברות (pdf)	$\ \frac{x}{\sigma^2}\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\ 1-\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})$
תוחלת	$\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \sigma$
חציון	$\sigma\sqrt{\ln(4)}\,$
ערך שכיח	$\sigma\,$
שוֹ‏נוּ‏ת	$\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2$
אנטרופיה	$1+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma^3}\right)+\frac{\gamma}{2}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
צידוד	$\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$
גבנוניות	$-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$

בהסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי.

ההתפלגות תלויה בפרמטר $\ \sigma$ , המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור. פונקציית הצפיפות היא $f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}.$ . המומנטים נתונים על ידי $\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,$ , כאשר $\ \Gamma$ מסמנת את פונקציית גמא. בפרט, מתקבלים: התוחלת $\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ , השונות $\frac{4-\pi}{2} \sigma^2$ , הצידוד $\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$ והגבנוניות $- \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$ .

[עריכה] אמידת פרמטרים

בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר $σ$ (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה $\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N x_i^2}.$

[עריכה] התפלגויות דומות

אם $\ X,Y \sim N(0, \sigma^2)$ משתנים נורמליים בלתי תלויים, אז $\ R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)$ מתפלג לפי התפלגות ריילי (מכאן הפרמטר סיגמא).
אם $\ R \sim \mathrm{Rayleigh}(1)$ , אז $\ R^2$ מתפלג התפלגות חי-בריבוע עם שתי דרגות חופש.
אם $\ X$ מתפלג התפלגות אקספוננציאלית, $\ X \sim \mathrm{Exponential}(x|\lambda)$ , אז