פונקציה יוצרת מומנטים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי היא פונקציה יוצרת, שממנה אפשר לקרוא את המומנטים של המשתנה. חשיבותה התאורטית בכך שבתנאים מסוימים אפשר לשחזר ממנה את ההתפלגות של המשתנה, והיא מאפשרת לבנות התפלגות מתוך המומנטים בלבד.

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה X היא פונקציה של משתנה ממשי $\ t$ המוגדרת כתוחלת $\ M_X(t)=E(e^{tX})$ , כאשר זו קיימת. באופן אנלוגי מוגדרת הפונקציה האופיינית, כתוחלת של $\ E(e^{itX})$ .

אם הפונקציה יוצרת המומנטים גזירה n פעמים בקטע הכולל את הנקודה $\ t=0$ , אז ניתן לקרוא את המומנט ה-n-י של המשתנה על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה, על-פי הנוסחה $\ E(X^n) = M_X^{(n)}(0)$ . לדוגמה, $\ M_X(0)=1$ , $\ M_X'(0)=E(X)$ ו- $\ M_X''(0)=E(X^2)$ . אם הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של 0, אפשר לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים לטור טיילור: $\ M_X(t) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{E(X^n)}{n!}t^n$ .

כאשר למשתנה יש התפלגות המוגדרת על ידי פונקציית צפיפות, $\ M_X(-t)$ היא התמרת לפלס דו-צדדית של פונקציית הצפיפות. בתנאים מסוימים אפשר לשחזר את ההתפלגות כולה מן הפונקציה היוצרת; ולכן גם מתוך המקדמים בפיתוח טיילור שלה, שהם כאמור המומנטים.

[עריכה] דוגמאות

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי Z היא $\ E_Z(t)=e^{\frac{t^2}{2}}$ .

למשתנה מקרי X בעל התפלגות אקספוננציאלית שהתוחלת שלה $\ \theta$ יש פונקציה יוצרת מומנטים המוגדרת כאשר $\ t<\frac{1}{\theta}$ לפי $\ M_X(t)=\frac{1}{1-\theta t}$ . הנגזרת ה-n-ית היא $\ M_X^{(n)}(t)=\frac{n!\cdot \theta^n}{(1-\theta t)^{n+1}}$ , והצבת $\ t=0$ נותנת $\ E(X^n)=M_X^{(n)}(0)=n! \theta^n$ .

[עריכה] קשרים בין משתנים

אם $\ a,b$ מספרים ממשיים ו- $\ Y=aX+b$ משתנה מקרי, אז $\ M_Y(t)=E(e^{t(aX+b)})=e^{bt}M_X(at)$ . אם $\ X_1,\dots,X_n$ משתנים בלתי תלויים ו- $\ S=X_1+\dots+X_n$ הסכום, אז $\ M_S(t)=M_{X_1}(t)\cdots M_{X_n}(t)$ . אפשר להוכיח שאם המשתנים הם שווי התפלגות, ובעלי תוחלת אפס ושונות 1, אז $\ M_{S/n}(t)\rightarrow e^{t^2/2}$ , הפונקציה יוצרת המומנטים של התפלגות נורמלית סטנדרטית; זוהי, בעקרון, הוכחה של משפט הגבול המרכזי.