Transverse Universelle de Mercator

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La Transverse universelle de Mercator (en anglais Universal Transverse Mercator ou UTM) est un type de projection conforme de la surface de la Terre. L’Allemagne l’utilise sous le nom de Projection de Gauss-Krüger. Cette projection est une projection cylindrique où l’axe du cylindre croise perpendiculairement l’axe des pôles de l’ellipsoïde terrestre au centre de l’ellipsoïde.

Schéma de la projection UTM

L'UTM est également un système de référence géospatiale permettant d'identifier n'importe quel point sur notre planète.

En pratique, pour couvrir la surface de la Terre, on la découpe en 60 fuseaux de 6 degrés en séparant l’hémisphère Nord et l’hémisphère Sud. Soit au total 120 zones (60 pour le Nord et 60 pour le Sud). On développe alors le cylindre tangent à l’ellipsoïde le long d’un méridien pour obtenir une représentation plane.

Les zones polaires (au delà de 84,5 degrés de latitude Nord et en deçà de 80,5 degrés de latitude Sud) ne sont théoriquement pas couvertes par ce système de projection, bien que le cylindre utilisé soit tangent aux deux pôles.

Ce n’est cependant pas un réel obstacle, si on admet d’étendre le découpage rectangulaire de la projection, de façon à couvrir plus de 6° de longitudes au delà de l’équateur, et c’est ce qui est généralement utilisé sur les cartes, où l’extension de longitude permet de conserver une bonne précision à peu près similaire à celles le long de l’équateur.

Une variante plus exacte de cette projection est de ne pas utiliser un cylindre parfait, mais un cylindroïde aplati aux pôles et tangent tout le long des deux méridiens opposés au géoïde (ellipsoïdal) de référence.

L’intérêt de cette variante est de conserver les distances tout le long du méridien de référence. Dans ce cas aussi, la précision des distances autour des pôles ne dépend plus du méridien de référence choisi pour la projection, il devient alors possible de construire une carte rectangulaire continue couvrant la totalité des deux fuseaux opposés le long d’une fine bande (large de 6° exactement à l’équateur).

Le territoire français est situé sur 3 fuseaux :

UTM Nord, fuseau 30 : entre 6 degrés ouest et 0 degré Greenwich ;
UTM Nord, fuseau 31 : entre 0 degré et 6 degrés est Greenwich ;
UTM Nord, fuseau 32 : entre 6 degrés est et 12 degrés est Greenwich.

La projection UTM de l’Allemagne. Les petits carrés avec les code à deux lettres ne font pas partie de l'UTM proprement dit, mais d'un système utilisé par l'OTAN appelé MGRS

Une projection ne doit pas être confondue avec un système géodésique (par exemple WGS72, WGS84, NTF) permettant de localiser un point à la surface de la Terre. N'importe quelle projection peut être associée à n'importe quel système géodésique ; toutefois, pour éviter les ambiguïtés, on associe généralement un système géodésique à une projection ; un bon exemple est en Europe le système géodésique ED50, généralement associé à la projection UTM. Néanmoins, pour être rigoureux, il faut toujours lorsqu'on donne des coordonnées en projection indiquer à la fois le système géodésique utilisé, et la projection (par exemple : "E = ..., N = ... en UTM dans le système géodésique ED 50").

La projection UTM est associée à un point de référence virtuel situé :

Pour l’hémisphère Nord : sur l’équateur à 500 km à l’Ouest du méridien central de la zone considérée ;
Pour l’hémisphère Sud : sur le parallèle situé à 10 000 km au Sud de l’équateur et 500 km à l’Ouest du méridien central de la zone considérée.

Ce décalage de point de référence permet d’avoir des coordonnées positives pour l’intégralité des points de la zone.

Sommaire

1 Coordonnées : géographiques ou projection ?
2 Formules de passage de latitude,longitude (φ,λ) aux coordonnées UTM (E,N)
- 2.1 Les formules avec une précision du centimètre
- 2.2 Démonstration des formules
  - 2.2.1 Etape 1: les coordonnées de Mercator généralisées (x,y)
  - 2.2.2 Etape 2: des coordonnées de Mercator généralisées (x,y) vers les coordonnées UTM (E,N)
3 Voir aussi
4 Références

[modifier] Coordonnées : géographiques ou projection ?

L’utilisation des coordonnées en projection (ex : E et N UTM) plutôt que des coordonnées géographiques (Latitude /Longitude) est en général jugée avantageuse pour les raisons suivantes :

Les coordonnées sont basées sur un système décimal, plus facile à utiliser pour les calculs que le système sexagésimal. Cependant avec des longitudes et latitudes on peut toujours travailler en degrés "décimaux" sans avoir à utiliser des minutes et des secondes d’angles ;
Le système est "rectangulaire" et est mesuré en kilomètres. On peut donc directement calculer des distances approximatives à partir des coordonnées UTM. Un point de la zone UTM 13 qui a pour coordonnées (315,1 km, 3 925,1 km) est exactement à 1 kilomètre du point de la zone 13 (315,1 km, 3 924,1 km). Cependant cette correspondance n’est qu’approchée si les points ne sont pas sur le même méridien, et elle n’est plus du tout valable lorsque l’on change de zone.

Les systèmes GPS fournissent en général une position dans le système géodésique WGS84. Certaines cartes de randonnées utilisent la projection UTM et se réfèrent au système géodésique WGS84. D’autres cartes utilisent une projection nationale ou locale et sont parfois également graduées en surcharge selon le système géodésique WGS84 (par exemple en France, les cartes de randonnée de l'IGN utilisent une projection Lambert, et sur les marges extérieures des cartes les coordonnées UTM sont indiquées en noir).

[modifier] Formules de passage de latitude,longitude (φ,λ) aux coordonnées UTM (E,N)

[modifier] Les formules avec une précision du centimètre

Les formules exactes sont compliquées et peu utilisables. Nous proposons des formules approchées avec une précision de l'ordre du centimètre.

Par convention, le géoide WGS 84 décrit la terre par un ellipsoide de révolution d'axe Nord-Sud, de rayon à l'équateur a=6378,137 km et d'excentricité e=0,0818192. On considère un point de latitude géodésique φ et longitude λ. Notons $λ 0$ la longitude du méridien de référence.

Les angles sont exprimés en radian. Voici des valeurs intermédiaires à calculer:

$\nu(\varphi)=1/\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}$

$A=(\lambda-\lambda_{0})\,\cos\varphi$

$s(\varphi) = (1-\frac{e^{2}}{4}-\frac{3e^{4}}{64}-\frac{5e^{6}}{256})\varphi-(\frac{3e^{2}}{8}+\frac{3e^{4}}{32}+ \frac{45e^{6}}{1024})\sin2\varphi + (\frac{15e^{4}}{256}+\frac{45e^{6}}{1024})\sin4\varphi-\frac{35e^{6}}{3072}\sin6\varphi$

$T=\tan^{2}\varphi, \quad C=\frac{e^{2}}{1-e^{2}}\cos^{2}\varphi, \quad k_{0}=0,9996$

Dans l'hémisphère Nord $N 0 = 0$ et dans l'hémisphère Sud $N 0 = 10000 k m$ .

Voici les formules de passage donnant les coordonnées UTM $E, N$ en kilomètres:

$E = 500 +k_{0}a\nu(\varphi)\Big(A+(1-T+C)\frac{A^{3}}{6}+(5-18T+T^{2})\frac{A^{5}}{120}\Big)$

$N =N_{0}+k_{0}a\,\Big(s(\varphi)+ \nu(\varphi)\,(\tan\varphi)\Big(\frac{A^{2}}{2}+(5-T+9C+4C^{2})\frac{A^{4}}{24} +(61-58T+T^{2})\frac{A^{6}}{720}\Big)\Big)$

Un exemple détaillé d'utilisation des formules

Prenons $λ =$ 5°50'51", $\varphi=$ 45°09'33", on est dans le fuseau 31, $λ 0 =$ 3°. Vous devez trouvez:

$λ - λ 0 = 0.0496983$ radians

$A = 0.0350442107$ ,

$C = 0.0033510263$ ,

$T = 1.01117395$ ,

$\nu(\varphi)=$ 1.00169,

$s(\varphi)=$ 0.784340804,

et enfin

$E = 723.80393$ et $N = 5004.57704$

[modifier] Démonstration des formules

Faisons une remarque préalable: le terme de "projection de Mercator" pourrait laisser entendre qu'il y a une droite joignant un point du géoide au point correspondant du cylindre qui l'enroule. Ce n'est pas le cas. Ce n'est pas le cas non plus pour la plupart des projections cartographiques comme la "projection de Lambert" entre le géoïde et un cône tangent. C'est le cas cependant pour la projection stéréographique. Par conséquent nous n'allons pas démontrer les formules à l'aide d'une projection.

Nous allons démontrer les formules en deux étapes. La première étape généralise l'emploi des coordonnées conformes de Mercator de la sphère au cas d'un ellipsoïde de révolution. Nous les appelerons coordonnées de Mercator généralisées.

La deuxième étape est une transformation conforme des coordonnées de Mercator généralisées vers les coordonnées UTM, avec la convention que ces coordonnées coincident le long du méridien de référence.

[modifier] Etape 1: les coordonnées de Mercator généralisées (x,y)

Comme pour la projection de Mercator nous posons $x = λ$ . Cela va déterminer la fonction $y(\varphi)$ .

Appelons $\rho(\varphi)$ la distance entre le point considéré de l'ellipsoide et l'axe nord-sud. Appelons $R(\varphi)$ le rayon de courbure le long du méridien. Une petit déplacement $d\varphi,d\lambda$ sur l'ellipsoïde correspond à une distance:

$ds^{2}=R^{2}(\varphi)d\varphi^{2}+\rho^{2}(\varphi)d\lambda^{2}$

appelée tenseur métrique de l'ellipsoide.

L'exigence que $x, y$ soient des coordonnées conformes impose au tenseur métrique de s'écrire:

$ds^{2}=R^{2}(\varphi)d\varphi^{2}+\rho^{2}(\varphi)d\lambda^{2}=k(\varphi,\lambda)(dx^{2}+dy^{2})$

où $k(\varphi,\lambda)$ est une fonction. La convention $x = λ$ implique que $k(\varphi,\lambda)=\rho^{2}(\varphi)$ et

$\frac{d y(\varphi)}{d\varphi}=\frac{R(\varphi)}{\rho(\varphi)}$

Bien que nous n'en ayons pas besoin dans la suite, cette équation différentielle s'intègre sans grande difficulté (voir déroulé, on trouve l'expression des coordonnées conformes de Mercator généralisées:

$x(\lambda)=\lambda,\qquad y(\varphi)=\ln\left(\tan\left(\frac{\varphi}{2} +\frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{{1-e\sin\varphi}}{{1+e\sin\varphi}}\right)^{e/2}\right)$

Expressions de $\rho(\varphi)$ et de $R(\varphi)$ et détails de l'intégration

La représentation paramètrique ad-hoc de l'ellipse qui est utilisée pour l'ellipsoïde terrestre dans les systèmes de projection Mercator aussi bien que Lambert et UTM est

$x(\varphi)=a\nu(\varphi)\cos(\varphi)$ , $z(\varphi)=a(1-e^{2})\nu(\varphi)\sin(\varphi)$

respectivement la distance au petit axe de l'ellipse $\rho(\varphi)$ , l'axe Nord Sud en l'occurrence et la distance au grand axe, en l'occurrence la distance au plan équatorial avec

$\nu(\varphi)=1/\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}$

On vérifie sans peine que avec $b 2 / a 2 = 1 - e 2$

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1$

On vérifie aussi sans peine que

$dx=-a(1-e^{2})\nu^{3}(\varphi)\sin\varphi d\varphi$ et $dy=a(1-e^{2})\nu^{3}(\varphi)\cos\varphi d\varphi$

et ainsi que $\varphi$ est bien la latitude, angle formé par la normale à l'ellipse avec le grand axe. Si on regarde l'élément différentiel d'arc on trouve $ds=\sqrt{(}dx^{2}+dy^{2})=a(1-e^{2})\nu^{3}(\varphi)d\varphi$ ce qui nous donne accès au rayon de courbure $R(\varphi)=a(1-e^{2})\nu^{3}(\varphi)$

Quelques indications pour intégrer l'équation différentielle ( [eq:Differentiel-Mercator])

Soit $\frac{dy(\varphi)}{d\varphi}=\frac{R(\varphi)}{\rho(\varphi)}$

qui s'écrit aussi bien $dy=\frac{1-e^{2}}{1-e^{2}{\sin\varphi}^{2}}\frac{\cos\varphi d\varphi}{{\cos\varphi}^{2}}$

et en posant $u=\sin\varphi$

$dy=\left(\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1-u}-e^{2}\left(\frac{1}{1+eu}+\frac{1}{1-eu}\right)\right)\frac{du}{2}$

Un petit calcul montre que $\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi}=\tan(\varphi/2+\pi/4)^{2}$ et on arrive au résultat ([eq:Mercator]).

[modifier] Etape 2: des coordonnées de Mercator généralisées (x,y) vers les coordonnées UTM (E,N)

La deuxième étape est une transformation conforme des coordonnées conformes de Mercator généralisées x,y vers les coordonnées UTM X,Y.

On utilise la propriété qu'une telle transformation conforme s'écrit à l'aide d'une fonction analytique en variables complexes $Z=f\left(z\right)$ avec $Z = X + i Y$ et $z = x + i y$ .

Sans perte de généralité on suppose que le méridien de référence est en $x = λ = 0$ . Par convention, les coordonnées UTM sont telles que sur le méridien de référence est en $X = 0$ et le long de celui ci $Y$ mesure la distance, c'est à dire que $dY=ds=R(\varphi)d\varphi$ . On intègre cette dernière équation pour obtenir $s(\varphi)=\int_{0}^{\varphi}R(\psi)d\psi$ qui est la distance entre le point de latitude $\varphi$ et l'équateur (C'est intégrale elliptique de première espèce, mais nous ne l'utiliserons pas). Sur le méridien de référence on a donc:

$Y(0,y)=s(\varphi(y))=\left(s\circ\varphi\right)\left(y\right)$

et l'on déduit par prolongement analytique que

$Y(x,y)+iX(x,y)=s\circ\varphi(y+ix)$

Dans une carte de Mercator transverse, on s'éloigne peu du méridien de référence $x = 0$ . On peut donc utiliser un développement limité par rapport à la variable $x = λ$ , en $x = 0$ :

$Y+iX=\sum_{n=0}^{\infty}i^{n}\frac{\lambda^{n}}{n!}\frac{\partial^{n}\left(s\circ\varphi\right)}{\partial y^{n}}$

et identifiant parties réelles et imaginaires on obtient:

$X=\sum_{n=1,3,5..}^{\infty}-1^{\frac{n-1}{2}}\frac{\lambda^{n}}{n!}\frac{\partial^{n}\left(s\circ\varphi\right)}{\partial y^{n}}\qquad Y=\sum_{n=0,2,4..}^{\infty}-1^{n/2}\frac{\lambda^{n}}{n!}\frac{\partial^{n}\left(s\circ\varphi\right)}{\partial y^{n}}$

La première dérivée se calcule facilement en utilisant des relations précédentes:

$\frac{\partial s\circ\varphi}{\partial y}=\frac{\partial s(\varphi)}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial y}=R(\varphi)\frac{\rho(\varphi)}{R(\varphi)}=\rho(\varphi)$

La dérivée seconde s'obtient en dérivant la précédente de la même manière.

$\frac{\partial^{2}s\circ\varphi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial\rho(\varphi)}{\partial\varphi}\frac{\rho(\varphi)}{R(\varphi)}=-\nu(\varphi)\sin\varphi\cos\varphi$

En continuant ainsi jusqu'à l'ordre $n = 6$ , en se limitant au premier ordre en $e' 2 = e 2 / (1 - e 2)$ et en utilisant les notations précédentes, on obtient finalement:

$X=a\nu\left(\varphi\right)\left(\ A+(1-T+C)\frac{A^{3}}{6}+(5-18T+T^{2}+72C-58e'^{2})\frac{A^{5}}{120}\right)+\ldots$

$Y=as(\varphi)+a\nu\left(\varphi\right)\left(\tan\varphi\right)\left(\frac{A^{2}}{2}+(5-T+9C+4C^{2})\frac{A^{4}}{24}+(61-58T+T^{2}+600C-330e'^{2})\frac{A^{6}}{720}\right)+\ldots$

Pour finir, les coordonnées UTM $N, E$ ne sont pas exactement $X, Y$ , mais par convention elles sont réduites et décalées:

$E=500+k_{0}X_{UTM}\quad N=N_{0}+k_{0}Y_{UTM}$

avec le facteur de réduction $k 0 = 0.9996$ et $N 0$ a été donné plus haut.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

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[modifier] Coordonnées : géographiques ou projection ?

[modifier] Formules de passage de latitude,longitude (φ,λ) aux coordonnées UTM (E,N)

[modifier] Les formules avec une précision du centimètre

[modifier] Démonstration des formules

[modifier] Etape 1: les coordonnées de Mercator généralisées (x,y)

[modifier] Etape 2: des coordonnées de Mercator généralisées (x,y) vers les coordonnées UTM (E,N)

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