Projection stéréographique

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Projection stéréographique du pôle sud sur le plan équatorial.

Une autre représentation de la projection stéréographique : on projette à partir du pôle nord sur le plan tangent au pôle sud.

Projection stéréographique de la figure de pôles d'un reseau cristallin de Diamant selon l'axe [111] qui démontre a symétrie au long de la diagonale d'espace du cube elementaire.

La projection stéréographique est une méthode permettant de représenter une sphère privée d'un point sur un plan. On convient souvent que le point dont on prive la sphère sera un des pôles de celle-ci ; le plan de projection peut être celui qui sépare les deux hémisphères, nord et sud, de la sphère, qu'on appelle plan équatorial. On peut également faire une projection stéréographique sur n'importe quel plan parallèle au plan équatorial pourvu qu'il ne contienne pas le point dont on a privé la sphère.

Soit S le point situé au pôle sud de la sphère à projeter. L’image Z’ d’un point Z de cette sphère sera définie par l’intersection entre le plan équatorial et la droite (SZ). (Cette projection revient à observer la sphère à partir du pôle sud).

Deux propriétés importantes :

Tout cercle sur la sphère - hormis ceux passant par le pôle sud - sera transformé en un autre cercle dans le plan équatorial,
Les angles sont conservés pendant la transformation.

Remarques :

L’équateur reste lui-même durant cette transformation.
Un point de l’hémisphère nord sera projeté à l’intérieur de l’équateur (par exemple dans notre figure, H2 devient H2’ ), un point de l’hémisphère sud à l’extérieur (H1 devient H1’ ).
Pour tracer un cercle projeté, il suffit donc de trouver deux points définissant un diamètre.
On peut définir de façon analogue une projection à partir du pôle nord, comme le montre la deuxième figure.

La projection stéréographique était utilisée dans la conception des astrolabes arabes de l’époque médiévale. Elle est amplement utilisée en cristallographie pour étudier la symétrie morphologique des cristaux, et notamment pour représenter les formes cristallines, un exemple étant donné à la troisième figure.

Une très jolie animation^[1] de l‘American Mathematical Society montre un portrait de Bernhard Riemann se déplaçant sur une sphère et projeté stéréographiquement en même temps sur un plan.

Sommaire

1 Les mathématiques de la projection stéréographique
2 Notes et références
3 Voir aussi

[modifier] Les mathématiques de la projection stéréographique

[modifier] Aspect géométrique

Projection stéréographique du pôle nord sur un plan non équatorial.

Coupe d'une projection stéréographique par un plan passant par le centre de la sphère, le pôle nord et le point à transformer. Cette fois-ci, le plan de projection n'est pas équatorial.

Une sphère de dimension $n$ est l'ensemble des points de l'espace de dimension $n + 1$ situés à distance $r$ du centre de la sphère. Si on ne précise pas le type de distance, on utilise la distance euclidienne de deux points, de vecteurs de coordonnées $u$ et $v$ , distance donnée par la norme euclidienne du vecteur $v - u$ :

$|v-u|=\left(\sum_{j=1}^{n+1}|u_j-v_j|^2\right)^{1/2}.$

La projection stéréographique permet de définir un homéomorphisme entre une sphère de dimension $n$ privée d'un point et l'espace de dimension $n$ . La démonstration qui suit est valable en dimension $n\ge 1$ quelconque, mais le cas particulier d'une sphère ordinaire peut être lu sans autre modification que de remplacer le mot "hyperplan" par le mot "plan" dans ce qui suit.

Géométriquement, notons $N$ (comme Nord) le point particulier dont on va priver la sphère. Soit $Π$ un hyperplan perpendiculaire au rayon déterminé par $N$ . On supposera que cet hyperplan plan n'est pas le plan tangent en $N$ à la sphère.

Soit $x\neq N$ un point de la sphère. Notons $D$ la droite déterminée par $x$ et $N$ ; cette droite n'est jamais parallèle au plan $Π$ , parce que seules les droites tangentes à la sphère en $N$ sont parallèles à $Π$ . En particulier, $D$ n'est pas entièrement contenue dans $Π$ . Il y a donc un unique point d'intersection de $D$ avec $Π$ . Ce point est l'image de $x$ par projection stéréographique. Réciproquement, si $X$ est un point du plan $Π$ , comme ce plan ne passe pas par $N$ , la droite déterminée par $X$ et $N$ coupe la sphère en $N$ et en un autre point $x$ , qui est l'image réciproque de $X$ par projection stéréographique.

Afin de comprendre visuellement ce qui se produit, on remarque que toute la construction se passe dans le plan de dimension $2$ déterminé par le centre de la sphère, $N$ et $x$ (ou $X$ ). On se rapportera à la figure faite dans ce plan pour bien voir la construction.

[modifier] Aspect analytique

Du point de vue analytique, on simplifie le calcul en fixant l'origine des coordonnées au centre de la sphère, le pôle nord sur le $n + 1$ -ième axe de coordonnées, et le rayon de la sphère égal à l'unité. Les deux premiers choix sont simplement un choix de repère. Le dernier est un choix d'unité de longueur. Si on ne désire pas changer cette dernière, on pourra pratiquer une homothétie sur les formules ci-dessous, afin de traiter le cas d'une sphère de rayon $r$ quelconque.

Avec ces choix, la sphère unité $S n$ de $\mathbb{R}^{n+1}$ est définie par : $S^n=\{x=(x_1,\dots,x_n, x_{n+1}):\sum_{j=1}^{n+1} \bigl|x_n\bigr|^2=1\}.$

Posons $y=(x_1,\dots, x_n), \quad s=x_{n+1}.$

Le point $N$ a pour coordonnées $y=0\in\mathbb{R}^n$ et $s = 1$ . L'hyperplan $Π$ a pour équation $s = h$ . Les points de $Π$ auront comme coordonnée courante $(ξ, h)$ , avec $\xi\in \mathbb{R}^n$ .

Géométriquement, $(y, s - 1)$ et $(ξ, h - 1)$ sont non nuls et colinéaires. Il existe donc un scalaire non nul $λ$ tel que $y=\lambda \xi, \quad s-1=\lambda(h-1).$

Si on se donne $(y, s)$ dans $S n$ , on substitue $y$ par $λξ$ et $s$ par $1 + λ(h - 1)$ dans la relation de définition $| y | 2 + s 2 = 1$ . Un bref calcul fournit, après division par $\lambda\neq 0$ , la relation

$\lambda=\frac{2(1-h)}{|y|^2+(1-h)^2}.$

Le choix $h\neq 1$ assure que $λ$ est toujours bien défini. La valeur de $y$ et $s$ en fonction de $ξ$ est donc

$y=\frac{2(1-h)\xi}{|\xi|^2+(1-h)^2}, \quad s=\frac{|\xi|^2-(1-h)^2}{|x|^2+(1-h)^2}.$

Réciproquement, si $y$ et $s$ sont donnés, on aura

$\lambda=\frac{s-1}{h-1}, \quad \xi=\frac{(h-1)y}{s-1}.$

L'image par projection stéréographique d'un grand cercle passant par $N$ est une droite passant par le point $(0, h)$ . L'image d'un cercle quelconque tracé sur la sphère et passant par $N$ est la droite formée de l'intersection de $Π$ avec le plan déterminé par le cercle. L'image d'un cercle ne passant pas par $N$ est un cercle de l'hyperplan $Π$ .

[modifier] Généralisation

Cinq exemples de "cercles" unité pour des normes non euclidiennes.

On peut définir la projection stéréographique de n'importe quelle sphère "arrondie" sur un plan : si la boule unité pour une norme de $\mathbb{R}^{n+1}$ est strictement convexe, c'est à dire si le bord de cette boule unité ne contient aucune segment de droite, alors la même construction fonctionne encore, mais le résultat peut dépendre fortement du choix du point $N$ , puisqu'une telle sphère n'est isotrope, c'est à dire invariante par rotations de l'espace de dimension $n + 1$ , que si elle est euclidienne. La figure montre quelques "cercles" unité pour la norme $|x|_p=\bigl(|x_1|^p+|x_2|^p\bigr)^{1/p},$ pour $p$ strictement compris entre $1$ et l'infini. Pour $p = 1$ et pour $p=\infty$ , le cercle unité relatif à ces normes n'est pas assez arrondi pour assurer l'unicité de la projection stéréographique, ou son existence.