Liste des paradoxes
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Cet article se borne à exposer succinctement la plupart des paradoxes célèbres. Ces paradoxes sont généralement traités de façon plus exhaustive dans des articles qui leurs sont consacrés en propre.
Les paradoxes sont ici regroupés pour commodité de lecture. Il va de soi que cette classification est arbitraire et constestable ; mais si elle vous permet de retrouver plus vite le paradoxe que vous recherchez, son but est atteint.
D'autres paradoxes liés à la relativité restreinte sont présents dans l'article qui lui est consacré, sous la désignation de petites expériences de pensée.
[modifier] Paradoxes auto-référentiels
[modifier] Paradoxe du menteur
Le paradoxe du menteur est dérivé du paradoxe du crétois (ou paradoxe d'Épiménide le Crétois). Sous sa forme la plus concise, il s'énonce
Je mens !
On peut y voir deux interprétations
-
- en tant qu'énoncé, cette phrase dit : « Cette phrase est fausse. »
- en tant que propos, il faut comprendre : « Je mens maintenant. »
Autrement dit, ce paradoxe apparaît clairement dans la proposition suivante :
Si je dis que je mens, est-ce que je dis la vérité ?
[modifier] Paradoxe de Russell
L'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes, est membre de lui-même si et seulement s'il ne l'est pas. Ce paradoxe a été trouvé dans l'axiomatique de Gottlob Frege par Bertrand Russell.
[modifier] Paradoxe du barbier
« Dans le royaume de Razibus, le roi décréta l'édit suivant : "Le barbier doit raser uniquement les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes mais il doit raser tous ces derniers" » Question : qui rase le barbier ? Solution possible: personne ne rase le barbier car le barbier est une femme ou un robot.
[modifier] Paradoxe de Grelling-Nelson
Est nommé hétérologique un mot qui ne se décrit pas lui-même. Par exemple : « long » est un mot hétérologique en ceci qu'il n'est pas long.
Ainsi selon cette définition, le mot « hétérologique » est autologique si et seulement s’il ne l'est pas.
(Même explication que le paradoxe du menteur.)
[modifier] Paradoxe de Richard
Si l'on numérote tous les nombres réels définissables en un nombre fini de mots, alors on peut construire, en utilisant l'argument de la diagonale de Cantor un nombre réel hors de cette liste. Pourtant ce nombre a été défini en un nombre fini de mots.
[modifier] Paradoxe de Berry
« Le plus petit entier naturel non-descriptible par une expression de quinze mots ou moins. »
[modifier] Paradoxe de l'avocat
Euathlos, s'il gagne son premier procès, doit payer Protagoras. Or, c'est Protagoras lui-même qui décide d'attaquer Euathlos. Donc, le jugement et les éventuels dommages seront forcément en sens opposé à ce que prévoyait l'accord.
[modifier] Paradoxes sémantiques
[modifier] Paradoxe de Moore
Il pleut dehors, mais je ne crois pas qu'il pleuve.
G.E.Moore mit en évidence l'incohérence de ce type de phrases.
[modifier] Paradoxe du syllogisme en Camestres
Saccheri a proposé le syllogisme en Camestres (AEE de la première figure) suivant, construit à partir des règles de constructions des syllogismes (on sous-entend que le syllogisme est de la première figure) :
- Tout syllogisme ayant une majeure universelle et une mineure affirmative est conclusif
- Nul syllogisme en AEE n’a une majeure universelle et une mineure affirmative
- Donc nul syllogisme en AEE n’est conclusif
Or précisément ce syllogisme est en AEE.
[modifier] Paradoxes basés sur un syllogisme en A-A-A
Ce type de paradoxe tire son nom des syllogismes dits en barbara, (A-A-A = deux prémisses et conclusion universelles et affirmatives) :
Le paradoxe de "l'emmental" en est le plus fameux exemple :
- Plus il y a d'emmental, plus il y a de trous
- or plus il y a de trous, moins il y a d'emmental
- donc plus il y a d'emmental, moins il y a d'emmental.
Autre paradoxe du même genre, mentionné dans des almanachs d'avant-guerre :
- Un cheval bon-marché est rare.
- or ce qui est rare est cher
- donc un cheval bon-marché est cher.
(Voir théorie des types, voir aussi page de discussion)
[modifier] Paradoxe sorite
Un grain isolé ne constitue pas un tas. L'ajout d'un grain ne fait pas d'un non-tas, un tas. On en déduit que l'on ne peut constituer un tas par l'accumulation de grains.
[modifier] Paradoxe du barbu
On peut enlever un poil de barbe à un barbu, il restera barbu ; cependant, après un certain nombre de poils enlevés il ne le sera plus. À partir de combien de poils changera-t-il de statut ?
[modifier] Paradoxe de l'œuf et de la poule
Le paradoxe de l'œuf et de la poule est l'un des plus anciens et le plus représentatif des cercles vicieux :
« Qu'est-ce qui est apparu en premier : l'œuf ou la poule ? ».
Grâce aux avancées de la phylogénèse on sait désormais que seuls les gamètes et les embryons « évoluent » et donc que l'œuf vint avant la poule.
[modifier] Paradoxes mathématiques
Aucun "paradoxe" présenté ici ne constitue un réel paradoxe mathématique. C'est pourquoi le paradoxe de Russell est absent de cette liste. Certains de ces "paradoxes" sont en réalité des théorèmes particulièrement surprenants voire contre-intuitif. D'autres doivent être appréhendés comme de simples exercices formateurs de type : cherchez l'erreur. Ce sont donc des résultats faux construits sur de subtiles erreurs de raisonnement. On trouvera d'autres exemples dans l'article pseudo-démonstration d'égalité entre nombres. Historiquement, de tels erreurs de raisonnement ont contribué à la formalisation des mathématiques et à la clarification des concepts utilisés.
[modifier] Paradoxe de Wedge
C'est une petite construction géométrique sournoise, visant à démontrer qu'un triangle peut avoir deux surfaces différentes.
[modifier] Paradoxe de l'égalité entre 0,9999... et 1
0,9999...=1. Ce résultat est une curiosité mathématique qualifiée de paradoxe en raison de son caractère contre-intuitif, en fait un résultat important induit par les développements décimaux. En effet utilisons par exemple ce raisonnement: x=0.9999999......une infinité de 9 alors 10x=9.99999....... soit 10x=9+x donc 9x=9 soit x=1 ? pourtant x=0.99999......
[modifier] Paradoxe de Galilée ou de Georg Cantor
Il y a autant de nombres entiers que de nombres carrés car on peut les faire correspondre un à un (1 avec 1, 2 avec 4, 3 avec 9, etc.) alors que les nombres entiers contiennent strictement les nombres carrés.
En fait, le « nombre » d'entiers aussi bien que de carrés est le premier cardinal transfini, 
. Les lois de composition des transfinis ne sont pas celles des nombres finis qui les composent. au carré est égal à .
[modifier] Paradoxes sur les nombres complexes
Les mathématiciens du XVIIIe siècle ont essayé d’appliquer les règles de calcul sur les nombres réels aux nombres complexes, par exemple :
mais 
et 
donc 
- ln(-1)+ln(-1)=ln((-1)2)=ln(1)=0 donc de même ln(i)=0 donc en prenant l’exponentielle, eln(i)=e0 soit i=1 puisque exp∘ln=Id.
Ces deux paradoxes tiennent au manque de précision dans la définition des nombres complexes et à la perte de propriétés de certaines opérations lors du passage aux nombres complexes. Cependant, il faut tenir compte que ces "égalités" mettent en jeu des "ln(-1)" qui ne sont pas correctes puisque la fonction ln n'est définie que sur ]0;+inf[...
De plus la racine carrée n’existe pas dans ℂ puisqu’il existe deux racines carrées de tout nombre complexe. De même le logarithme d’un nombre complexe est défini à 2iπ près. Voir plus loin le paradoxe de « i ».
- on peut utiliser ce paradoxe en demandant de calculer ii
-
- - ii=(eiπ/2)i = (e(iπ/2)i) = e-π/2 < e
- - ii=(e-i3π/2)i = (e(-i3π/2)i) = e3π/2 > e
- donc e>e .
[modifier] Paradoxe de Bertrand
Joseph Bertrand proposa en 1888 d'estimer la probabilité qu'une corde tracée au hasard dans un cercle donné soit de longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit. Paradoxalement, les réponses 1/2, 1/3, 1/4 peuvent être toutes trois justifiées.
[modifier] Paradoxe de Burali-Forti
L'ensemble de tous les ordinaux ne possède pas lui-même d'ordinal du fait que cet ordinal doit être nécessairement plus grand que ou au moins de taille égale à (pour un cardinal ℵ0) chacun des membres de cet ensemble qui, par là même et en dépit de sa définition, ne contient pas cet ordinal.
[modifier] Paradoxe de Skolem
Le théorème de Löwenheim-Skolem dit que tout système d'axiomes d'un langage dénombrable, s'il a un modèle infini, a un modèle dénombrable. Si on l'applique à la théorie des ensembles ZFC, ou à une autre théorie axiomatique destinée à fonder les théorèmes de Cantor, on obtient un univers dénombrable de tous les ensembles définis dans ZFC. Mais on peut prouver dans ZFC qu'il existe des ensembles indénombrables. Autrement dit ZFC affirme qu'il existe plus d'ensembles qu'elle n'en peut définir. Tel est le paradoxe de Skolem. (voir aussi : théorème de complétude de Gödel)
[modifier] Paradoxe de Banach-Tarski
Dans l'espace de dimension 3, il est possible de découper une boule en un nombre fini de parties, de sorte qu'en déplaçant ces parties on recompose deux boules de même taille que la première boule. Le découpage n'est bien sûr pas réalisable physiquement ; en d'autres termes, les "morceaux" ont des formes inimaginablement irrégulières.
[modifier] Paradoxe de « i » ou des deux racines carrées
« Les nombres complexes sont définis par rapport à une valeur nommée i et dont le carré est défini comme -1. Mais il existe nécessairement deux telles valeurs, car si x a pour carré X, -x a le même. Comment savoir de laquelle des deux valeurs nous parlons ? »
La levée de ce paradoxe est une très belle illustration du principe de symétrie : elle consiste à remarquer tout simplement que lorsque nous avons dit que le carré de i est -1, nous avons déjà dit tout ce qu'il y a à dire sur i. Assurément, le carré de -i sera également -1, mais cela ne fait que nous indiquer que toute relation vraie où apparaît le nombre i le reste si on le remplace par -i : on ne peut en effet effectuer de distinction fonctionnelle entre -i et i. Ils n'ont de différence qu'en opposition l'un à l'autre (voir Le cru et le cuit).
Il est laissé à l'initiative du lecteur de vérifier que e-iπ = -1.
[modifier] Paradoxe de la Pomme de Terre
Enoncé du probléme : Nous disposons de 100 kg de pommes de terre qui sont constitués de 99 litres d'eau et 1 kg de matière sèche. On veut diminuer la teneur en eau de nos pommes de terre pour obtenir des pommes de terre constituées de 98% d'eau. Pour cela, on chauffe les pommes (seule l'eau s'évapore) jusqu'à obtention du bon ratio. La question est : Quel est le poids total restant de pommes de terre ?
La réponse est : 50 Kg.
Démarche de la réponse : Il nous reste donc 98 % d'eau et par complément 2 % de matière sèche. Les 2 % de matière représente toujours 1 kg de matière sèche. En appliquant simplement la règle de trois, on en déduit que l'eau représente 49 kg. Et que le poids total restant est de 50 kg.
Mauvaise interprétation : L'erreur classiquement commise lors de la résolution de ce paradoxe est de considérer que l'on a enlevé 1 % d'eau par rapport au poids total initial. On conclut alors que le poids final est de 99 Kg.
Le paradoxe réside dans la confusion que provoque l'énoncé. Les notions de pourcentage ne sont pas faciles à manier.
[modifier] Paradoxes liés à la théorie de la connaissance
[modifier] Paradoxe de Hempel
Si je dis « Tous les corbeaux sont noirs », cette phrase n'est pas logiquement équivalente à « Tous les objets non-noirs sont des non-corbeaux ». Pour renforcer par un processus d'induction ma conviction que « Tous les objets non-noirs sont des non-corbeaux », je peux fort bien rester dans ma chambre, y trouver dix mille objets non noirs, et vérifier que ce sont bien tous des non-corbeaux. Une loi qui se vérifie sur dix mille observations sans la moindre exception est certainement valide, n'est-ce pas ?
Réponse : Non. Tout ce qui a été établi, c'est que tous les objets non-noirs contenus dans ma chambre sont des non-corbeaux. En logique inductive, il faut toujours préciser le contexte d'une observation (voir inférence bayésienne et probabilité conditionnelle).
[modifier] Paradoxe de Goodman
C'est une question épineuse sur la manière d'appréhender certaines considérations telle que la « "couleur" vleu » :
est « vleu » un objet « vert jusqu'à une certaine date et bleu ensuite ».
[modifier] Paradoxe de la vie sur Ganymède
Si l'on prend au pied de la lettre une définition ancienne de la probabilité comme rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles, on arrive à des résultats curieux.
Ainsi y a-t-il des hommes sur le satellite (de Jupiter) Ganymède ? Si nous prenons la définition de la probabilité sans précaution, nous pourrions être tentés de supposer qu'il y a une chance sur deux !
En ce cas, la probabilité qu'il n'y ait autour de Ganymède ni hommes, ni chats, ni chiens, ni poules, ni cafards, ni vers de terre, ni poissons, ni oiseaux peut être rendue aussi proche de 0 qu'on le veut (1/2)N, N étant le nombre d'espèces considérées.
Il va de soi qu'on ne peut pas prendre le problème de cette façon. Nombre de formules se targuant de démontrer qu'il existe quasi-certainement de la vie ailleurs que sur Terre ont cependant ce type d'approche. Voir aussi Paradoxe de Fermi.
[modifier] Paradoxe de l'interrogation surprise
Un professeur annonce à ses élèves : « Il y aura une interrogation surprise la semaine prochaine. »
[modifier] Paradoxe de Newcomb
Expérience de pensée faisant intervenir un joueur et un devin capable de prévoir le choix du joueur.
[modifier] Paradoxes de la physique classique
[modifier] Paradoxe d'Achille ou de la flèche
(Voir Zénon d'Élée, paradoxes de Zénon)
« Il est impossible qu'Achille rattrape une tortue devant lui : pendant un temps t, Achille avance de X (la distance séparant Achille de la tortue au départ) et la tortue avance de x. Puis, à partir de ces nouvelles positions, pendant le temps t1, La tortue avance de x1 et Achille de X1. La distance entre Achille et la tortue est plus petite. On continue donc ainsi de suite. De même, une flèche tirée d'un arc n'atteindra jamais un arbre ».
Quiconque connaît les sommes de suites géométriques saura que cette série (t, t/n, t/2n... avec n=réel puisque Achille et la tortue ont des vitesses uniformes) converge et qu'il n'y a pas de paradoxe. Juste un moment de rencontre facilement calculable.
Plus précisément, une illusion de paradoxe est créée si l'on opère une confusion entre :
- un algorithme décrivant par une série infinie d'étapes un processus fini
et
- un processus lui-même de durée infinie
ce qui n'a pas de rapport direct.
Ce qu'on ne peut fixer, c'est un numéro donné d'itération du processus qui donnera le temps exact, même si ce temps est en ce qui le concerne déterminé avec toute la précision que l'on voudra.
Notons au passage que le processus utilisé pour la description est conçu de façon à ne pas permettre la considération d'un quelconque moment postérieur à la rencontre, et présente donc une version du réel amputée par construction.
[modifier] Paradoxe d'Olbers dit « du ciel de feu »
Si l'on suppose que l'univers est infini, et uniformément peuplé d'étoiles, on montre facilement qu'une demi-droite partant de l'observateur dans une direction quelconque finit toujours par en rencontrer une. Le ciel nocturne devrait donc être aussi brillant que la surface des étoiles. Or, ce n'est manifestement pas le cas.
[modifier] Paradoxes de la physique moderne
- Voir au Petites expériences de pensée, illustrations de l'article Relativité restreinte.
[modifier] Paradoxe des jumeaux
Le paradoxe des jumeaux est une expérience de pensée en relativité restreinte imaginée par Paul Langevin en 1911. Son aspect paradoxal est mis en évidence ainsi :
Lorsqu'un jumeau voyage (très vite), il revient plus jeune que son frère jumeau resté fixe.
Voir aussi
[modifier] Paradoxe du train
Il existe une propriété paradoxale de la relativité restreinte, qui a pour conséquence qu'un train peut apparaître plus ou moins long qu'un tunnel, suivant la position (et la vitesse) de l'observateur.
[modifier] Paradoxe d'Ehrenfest
Le paradoxe d'Ehrenfest est un paradoxe constaté dans l'étude des repères tournants et plus spécialement ici dans l'étude des disques tournants. Lorsque l'on prend en compte la relativité restreinte on constate que la géométrie semble différente dans le repère inertiel et dans le repère tournant alors qu'il s'agit du même espace physique.
[modifier] Paradoxe de Selleri
Le paradoxe de Selleri décrit une situation où, en raisonnant dans un repère tournant, on montre que les transformations des coordonnées doivent obéir aux transformations de Galilée. Un raisonnement apparemment sans faille conduit alors à invalider des postulats de la relativité restreinte.
[modifier] Paradoxe EPR
Le paradoxe EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) démontre que les hypothèses
- l'impossibilité pour un signal de dépasser la vitesse c (causalité relativiste) ;
- la mécanique quantique est complète et décrit entièrement la réalité (pas de variables cachées);
- les deux particules éloignées forment des eléments indépendants de la réalité (localité)
mênent à une contradiction. C'est l'hypothèse de localité qui en fit les frais.
Voir ausi les inégalités de Bell.
[modifier] Paradoxe du chat de Schrödinger
En mécanique quantique, l'état d'un système est indéterminé tant qu'on a pas procédé à la mesure : il n'y a pas de « variables cachées », même l'atome ne « sait » pas quel est son état avant la mesure. Le paradoxe, c'est qu'au niveau macroscopique ceci n'est pas vrai : un chat enfermé dans une boîte est bien mort ou vivant indépendamment de l'observation d'un expérimentateur, même si cette mort est dépendante d'un phénomène quantique (dans l'expérience de pensée : la désintégration d'un atome qui provoquerait la libération d'un poison).
[modifier] Paradoxe « quelle est la cause du Big Bang ? »
[modifier] Interprétation orthodoxe (RG pure)
Le Big Bang représentant dans le modèle standard (G et 1/c non nuls, h négligé) l'origine absolue du temps dans notre univers, la question de se demander dans ce modèle ce qu'il y avait avant n'y a pas plus de sens que demander quels sont les points de la surface terrestre plus au Nord que le pôle Nord. Si le Big Bang a existé, tout ce que l'on peut dire est qu'il pouvait exister, et il n'y a pas lieu de se demander quel événement en a été chronologiquement la cause puisque, toujours dans le cadre du modèle standard, le temps a commencé avec lui. On ne peut parler de cause qui serait antérieure; tout au plus des raisons (logiques et non causales) pour lesquelles il n'était pas autocontradictoire.
[modifier] Interprétations envisagées dans le cadre RG+MQ
Dans les cas des théories autres que le modèle standard (voir Gabriele Veneziano) on peut bien entendu se poser à nouveau la question; sauf que si un temps préexiste, alors il ne s'agit plus d'un Big Bang au sens classique du terme.
C'est en particulier le cas si l'on prend en compte la valeur de h, qui n'est pas nulle et ne peut certainement pas être négligée compte tenu des faibles distances envisagées. Il n'y a en ce cas pas de « singularité » possible par construction, et le supposé « Big bang » ne serait qu'une sorte de goulot d'étranglement; à ce jour (2005) ces autres modèles sont en cours d'étude, nombreux et bien entendu spéculatifs.
Voir Big bang
[modifier] Paradoxes probabilistes
[modifier] Argument de l'apocalypse
Suivant la date de l'Apocalypse, le nombre d'humains ayant vécu peut varier d'un facteur 1000. Mais si on prend un homme au hasard, le fait de se savoir né avant la date la plus proche pour l'Apocalypse ne conforte-t-il pas la date la plus proche?
[modifier] Loi de Godwin
En 1990, Mike Godwin énonça la règle empirique suivante : « Plus une discussion sur Usenet dure longtemps, plus la probabilité d'y trouver une comparaison avec les nazis ou avec Hitler s'approche de 1 »[1]
[modifier] Paradoxe des anniversaires
le paradoxe des anniversaires est en réalité un simple résultat surprenant en probabilité. Ce résultat repond à la question :
« Combien de personnes au minimum doit-on réunir pour avoir une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour ? »
[modifier] Paradoxe des camions prospecteurs
Ce paradoxe (d'apparence seulement) est traité dans l'article Probabilité dans la sous-section Idée erronée qu'une probabilité est nécessairement objective.
[modifier] Paradoxe des deux enveloppes
Deux enveloppes contiennent chacune un certain montant, l'un double de l'autre. Si un candidat choisit une enveloppe de valeur N parmi les deux proposées, alors il évaluera son espérance de gain (s'il change d'enveloppe) à 0,5 × 2N + 0,5 × N/2, soit 1,25 N. Il voudra donc à tout coup changer d'enveloppe.
[modifier] Paradoxe des trois pièces de monnaie
Quelle est la probabilité, lorsqu'on lance trois pièces de monnaie, que toutes trois retombent du même côté ? (La réponse est 1/4, et non 1/2 comme une erreur de raisonnement le laisserait croire)
[modifier] Paradoxe des deux enfants
Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ?
[modifier] Paradoxe des prisonniers
On dit à trois prisonniers qu'ils sont condamnés mais que l'un d'eux sera gracié. L'un d'entre eux demande à un gardien : « Peux-tu me montrer un de mes compagnons qui sera exécuté ? ». Le gardien s'exécute et le prisonnier lui répond alors : « Merci, avant, j'avais une chance sur trois d'être gracié, et maintenant, j'ai une chance sur deux. »
[modifier] Paradoxe de Monty Hall
Ce problème est né d'un jeu télévisé où un joueur espère gagner une voiture cachée derrière l'une des trois portes devant lui. Après qu'il a choisi une porte, le présentateur qui sait où se trouve la voiture, ouvre une seconde porte ne la cachant pas ; puis propose au joueur de modifier son choix. Bien que face à deux portes restées closes, les chances de succès du joueur pourraient ne pas être 1/2. Que doit-il faire ?
[modifier] Paradoxe de la Belle au bois dormant
La Belle au bois dormant sert ici de cobaye. Étant toujours amnésique à son réveil, on lui rappelle qu’elle doit deviner le résultat d’un tirage à pile-ou-face. Quelle sont ses chances de succès si on lui précise qu’il était convenu de la réveiller une fois si face tombait, deux fois sinon ?
[modifier] « Paradoxe » de Benford
Signalé par Frank Benford en 1939 : Pourquoi les pages des vieilles tables de logarithmes sont-elles d'autant plus usées qu'elles se trouvent proches du début ? (voir Loi de Benford)
« En étudiant des tables de valeurs numériques d'origines très diverses (BTP, résistance des matériaux, chimie, mécanique des fluides, astronomie...), on retrouve en fait une distribution remarquablement régulière du premier chiffre (non-nul) des valeurs qui y sont contenues :
et, de façon plus générale, chaque chiffre N apparaît en première position avec la probabilité : p(N) = log10 (1+1/N) Cela est dû au fait qu'une distribution générale, si elle existe, doit rester invariante par un changement d'unités (par exemple que les tables sont exprimées en pouces ou en centimètres, en °F, °C ou kelvins, etc. La seule distribution restant invariante dans une multiplication de tous ses termes par une constante est celle qui précède. Vous observerez très probablement la même distribution dans les numéros de rues présents dans votre carnet d'adresses (mais non ceux de téléphone, où le plan de numérotation des opérateurs téléphoniques joue le rôle d'anti-hasard). »
- le 1 apparaît avec une fréquence de 30%
- le 2 apparaît avec une fréquence de 18%
- le 9 apparaît avec une fréquence de 5%
[modifier] Paradoxe de Borel
Le paradoxe de Borel (parfois appelé le paradoxe de Borel-Kolmogorov) est un résultat technique de la théorie des probabilités. Il exprime que les fonctions de densité de probabilité conditionnelle ne sont pas invariantes par changement de variable.
[modifier] Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Ce paradoxe met en évidence qu'une espérance de gain positive, même infinie, n'est pas une raison suffisante pour jouer.
[modifier] Paradoxe de Parrondo
Ce paradoxe met en évidence qu'il est possible de trouver une stratégie gagnante sur des jeux dits "perdants". Mathématiquement cela peut se résumer par :
Étant donné 2 jeux, chacun ayant une probabilité de perte plus grande que celle de gain, il est possible de construire une stratégie gagnante en jouant les 2 jeux alternativement.
[modifier] Paradoxes en économie
[modifier] Paradoxe d’Easterlin
[modifier] Paradoxe de l'eau et du diamant
[modifier] Paradoxe des systèmes électoraux
[modifier] Paradoxe de l'Alabama
Ce paradoxe de l'Alabama présente une situation où, en augmentant le nombre de sièges à pourvoir, on diminue le nombre de sièges acquis par un parti. Il est né d'une situation concrète en 1880, dans l'état de l'Alabama aux États-Unis.
[modifier] Paradoxe de Condorcet
Énoncé en 1785, par Nicolas de Condorcet, ce paradoxe décrit l’intransitivité possible de la majorité : parmi un même électorat, et lors d’une même élection, il est possible qu’une majorité préfère A à B, qu’une autre majorité préfère B à C, et qu’une troisième majorité préfère C à A.
[modifier] Paradoxe de Simpson
Le paradoxe de Simpson ou effet de Yule-Simpson est un résultat singulier en statistique, dans lequel le succès de plusieurs groupes semblent s'inverser lorsque les groupes sont combinés.
[modifier] Paradoxe temporel
[modifier] Paradoxe du grand-père
Le paradoxe du grand-père est une expérience de pensée dont le but est de rendre compte du caractère problématique ou improbable du voyage dans le temps : un être humain retourne dans le passé et tue son grand-père avant même que ce dernier n'ait d'enfants.
[modifier] Paradoxe de l'écrivain
Le paradoxe de l'écrivain est en quelque sorte la réciproque du précédent: un voyageur temporel expédie à son moi du passé un livre qu'il est censé avoir écrit, et qu'il publie finalement sans que personne n'ait jamais eu à se creuser la tête pour que son texte existe.
[modifier] Extension du Paradoxe de Fermi
Stephen Hawking et d'autres physiciens proposent d'employer le paradoxe de Fermi comme argument contre les voyages temporels: s'ils étaient possibles, un homme du futur se serait manifesté (même en supposant que les lois du futur l'interdisent).
[modifier] Autres paradoxes
[modifier] Paradoxe d'Abilene
Le paradoxe exposé par le sociologue Jerry Harvey concerne la relation à la prise de décision au sein d'un groupe. Il est une illustration de la difficulté d’un groupe à prendre une décision et gérer collectivement son accord. Dans cette fable morderne aucun des 4 membres d'un groupe ne souhaitait se rendre à Abilene mais par crainte de s’offenser et de se contredire mutuellement, ils y finissent tous ! Paradoxe d'Abilene
[modifier] Paradoxe de l'âne de Buridan
Âne qui, selon la légende, est mort de faim et de soif entre son picotin d'avoine et son seau d'eau, faute de choisir par quoi commencer...
[modifier] Paradoxe de l'eau et du diamant
« Il n'y a rien de plus utile que l'eau, mais elle ne peut presque rien acheter; à peine y a-t-il moyen d'avoir quelque chose en échange. Un diamant, au contraire, n'a presque aucune valeur quant à l'usage, mais on trouvera fréquemment à l'échanger contre une très grande quantité d'autres marchandises. »
[modifier] Paradoxe de Fermi
Selon Fermi : « Si les extraterrestres existent, compte tenu de la durée de vie très longue de l'Univers et de la galaxie, pourquoi ne sommes nous pas déjà en contact ? »
[modifier] Paradoxe du compresseur
Lorsque fut lancé par IBM le système OS/2, les lecteurs de CD n'étaient pas généralisés et le système était fourni sur 17 disquettes, ce qui en rendait l'installation pénible. À une demande de la direction soucieuse de savoir si on pourrait réduire cette taille, la légende dit que la réponse aurait été : "Nous pouvons le faire tenir compressé en une seule disquette, mais à l'aide d'un compresseur si complexe qu'il en occupera seize". C'était là le fameux paradoxe initial.
[modifier] Paradoxe de la toute-puissance
« Si Dieu est tout-puissant, peut-il créer un rocher si lourd qu'il n'arriverait pas à le soulever ? S'il ne peut pas le créer, il n'est pas tout-puissant, et s'il le crée tel que spécifié et ne peut pas le soulever ensuite, il n'est pas tout-puissant non plus ».
Cette question a enflammé les esprits au Moyen Âge avec quelques autres qui en sont dérivées.
Selon Thomas d'Aquin, Dieu occupe en totalité l'espace de possibilités conforme à sa nature, qui est de cohérence. L'exemple précédent ne signifierait pas que Dieu n'existe pas, mais simplement que l'autocontradiction appartient à ce qui n'est pas lui et qu'il en est par nature exempt. Remarquons en outre que le paradoxe proposé présuppose que Dieu a une nature temporelle, or dans la plupart des religions monothéistes, il est au contraire atemporel (omniprésent dans le temps).
[modifier] Paradoxe d'Eliezer
Eliezer est l'homme de confiance d'Abraham. La valeur numérique de son nom en hébreu est de 318.
Dans un épisode de la bible, Loth est prisonnier. Abraham le libère accompagné de ses 318 hommes ce qui fait dire aux rabbins qu'Abraham n'était accompagné que d'Eliezer.
Ce qui est paradoxal est une proposition inverse à la logique. Comment combattre une armée et liberer un prisonnier avec un seul homme? Ce récit est donc un paradoxe métaphysique car comme on ne peut nier la vérité des écritures ni le résultat des études de celles-ci par les rabbins, il y a un conflit de compréhension. Cette valeur 318 est-elle pluralité ou non?
[modifier] Paradoxe du club de Groucho
Groucho Marx déclare :
- Jamais je n'accepterais de faire partie d'un club qui m'accepterait comme membre. La citation exacte est "des gens comme moi" ("people like me" dans le texte). Voir The joy of yiddish de Leo Rosten.
C'est simplement une blague juive d'autodérision où Groucho donne un prétexte pour ne pas se faire embrigader dans quelque mouvance que ce soit.
D'un point de vue logique, il n'y a pas de réel paradoxe : cette affirmation revient seulement à dire que Groucho refuse de faire partie d'un quelconque club, et qu'il n'a une haute idée ni des autres ni de lui-même.
Cette affirmation laisse en revanche ouverte la possibilité que Groucho souhaite être sollicité à participer à des clubs afin de pouvoir refuser cette invitation : souhait paradoxal mais somme toute assez répandu. Il devrait créer son propre club.
[modifier] Paradoxe de Labelle
Dans certains pays, le suicide est passible de la peine de mort.
[modifier] Paradoxe de Tristan
Dans son roman Dernières nouvelles de l'Au-delà, Frédérick Tristan écrit : "Ce matin-là, lorsque monsieur Némo se réveilla, il s'aperçut qu'il était mort."
S'il s'aperçoit qu'il est mort, c'est qu'il ne l'est pas. En revanche, s'il est mort il ne peut pas s'éveiller. Une troisième hypothèse est possible : dans la mort il existerait une possibilité de connaissance de son état, mais cette hypothèse est invérifiable. Cette phrase utilise ce que l'on nomme pensée spéculative. L'idée est également présente chez Jean d'Ormesson ainsi que dans une chanson de Gilbert Bécaud :
Je suis mort ce matin à six heures moins le quart
Mourir, c'est trois fois rien, c'est après qu'c'est bizarre
(Bienvenue parmi nous)
[modifier] Le paradoxe de la fausse difficulté
Certaines choses que l'on pense très difficiles sont en fait assez faciles, au point que cela donne l'impression d'un miracle. Ce type de paradoxes est apprécié des calculateurs prodiges. Un exemple simple est :
- quels sont le premier chiffre et le dernier chiffre de la racine treizième du nombre de 100 chiffres suivant (qui est la puissance treizième exacte d'un entier) :
2 928 811 583 487 520 106 055 356 735 278 365 212 219 650 202 093 713 928 425 510 086 152 669 633 464 222 587 770 308 279 739 304 053
La réponse est le premier chiffre est un 4, le dernier chiffre est un 3. L'explication provient du double fait mathématique, connu de peu de gens bien sûr :
(a) que le premier chiffre de la racine treizième d'un nombre de 100 chiffres est toujours 4, et
(b) qu'un entier élevé à la puissance 13 garde le même dernier chiffre.
Plus de détails sur le paradoxe de la fausse difficulté en (fr) [1] où est expliqué comment calculer exactement la racine 1789e d'un nombre de 7000 chiffres.
[modifier] Paradoxe de la cravate
Histoire « juive » :
La mère offre deux cravates à son fils. Pour lui faire plaisir, il met l'une d'elles pour lui rendre visite. Ce qui lui attire la remarque suivante :
« Pourquoi n'as tu pas mis la cravate (l'autre) que je t'ai offerte ? »
Le paradoxe, c'est que le fils est devant deux solutions (deux cravates) qui toutes deux le conduisent à la faute.
Paul Watzlawick se plaît à raconter cette histoire pour illustrer les paradoxes et double contrainte d'une paire d'injonctions paradoxales assortie d'une troisième implicite ou explicite nommée par Yves Barel de "injonction-cliquet" qui interdit tout refus d'obéissance à des choix impossible et tout commentaire sur cette absurdité. En dehors d'une relation d'autorité ou de domination réelle ou intériorisée par apprentissage social, il n'y aurait pas de double contrainte, mais seulement une aimable plaisanterie.
Une mère rend visite à son enfant et lui offre deux cravates, une bleue et une rouge. À la visite suivante, l'enfant se présente avec la cravate rouge.
La mère lui dit : « Tu n'aimes pas la cravate bleue ? » À la visite suivante, l'enfant se présente avec la cravate bleue.
À la visite suivante encore, l'enfant se présente avec les deux cravates bleue et rouge au col et sa mère lui dit :
« Ce n'est pas étonnant que tu sois placé en pédopsychiatrie ! »
[modifier] Paradoxe du cigare surprise
Le général a promis à chacun de ses hommes un cigare et une surprise. Or la surprise, c'est qu'il n'y eut pas de cigare.
Origine du paradoxe : alors qu'on s'attend à ce que les deux termes soient indépendants l'un de l'autre et se cumulent positivement, le second terme n'est en fait qu'une fonction d'annulation du premier, et le résultat final est nul.
[modifier] Paradoxe du bal masqué
Il s'agit d'un cas célèbre de mystification du lecteur, figurant dans la nouvelle comique d'Alphonse Allais intitulée Un drame bien parisien.
[modifier] Paradoxe du paradis
" Une mère très pieuse est admise au paradis; elle a tout ce qu'elle veut. En bonne mère, une fois bien installée, elle s'encquiert du sort de son fils John. Elle apprend qu'il est en train de souffrir atrocement en enfer. Comment notre mère peut-elle être heureuse au Paradis?"
[modifier] Paradoxe lexical
Le prof de maths à ses élèves: "La semaine prochaine vous aurez un devoir. Cette fois, vous n'aurez aucun problème. Mais vous aurez néanmoins des problèmes."
