Ampèren laki

Wikipedia

Ampèren laki

Ampèren laki on André-Marie Ampèren keksimä fysiikan laki, joka mahdollistaa muun muassa virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän voimakkuuden määrittämisen ja johtaa Biot-Savartin lakiin. Laki yhdistää suljetun käyrän sisäänsä sulkeman virran ja magneettivuon tiheyden polkuintegraalin silmukan ympäri:

$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}}$

missä:

$\mathbf{B}$ on magneettivuon tiheys.
$d\mathbf{l}$ on infinitesimaalisen pieni alkio (differentiaali) suljetusta käyrästä $C$ .
$I enc$ on käyrän $C$ sisäänsä sulkeman alueen läpi kulkeva virta (eli virrantiheyden pintaintegraali).
$μ 0$ on vapaan avaruuden permeabiliteetti.
$\oint_C$ on polkuintegraali suljettua käyrää $S$ pitkin.

[muokkaa] Yleistetty Ampèren laki

James Clerk Maxwell havaitsi loogisen ristiriitaisuuden soveltaessaan Ampèren lakia varautuvaan kondensaattoriin ja siten päätteli tämän lain olevan puutteellinen. Ratkaistakseen ongelman hän keksi kenttämuutosvirran (siirtymävirran) käsitteen ja loi näin yleistetyn version Ampèren laista, joka sisällytettiin Maxwellin yhtälöihin. Yleistetty yhtälö tyhjiössä on:

$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}} + \mu_0 \frac{d \Phi_E}{dt}$

missä

Φ E

on sähkövuo mielivaltaisen, käyrän C rajoittaman pinnan läpi (eli sähkövuon tiheyden pintaintegraali).

Stokesin lausetta sekä virrantiheyden ja sähkövuon määritelmää käyttäen laki voidaan kirjoittaa muodossa

$\iint_A \nabla \times \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A} = \mu_0 \iint_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_A \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A}$ ,

missä A on käyrän C rajoittama pinta, $\mathbf{J}_c$ on virrantiheys ja $\nabla \times \mathbf{B}$ on magneettivuon tiheyden roottori. Koska integraalimuoto pätee kaikille suljetuille pinnoille, Ampére-Maxwellin laki voidaan kirjoittaa osittaisdifferentiaalimuodossa

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ ,

missä yhtälön oikean puolen toinen termi kuvaa kenttämuutosvirtaa. Sen pois jättäminen antaa alkuperäisen Ampèren lain differentiaalisen muodon. Yleensä laki kirjoitetaan magneettikentän voimakkuuden H ja sähkövuon tiheyden D avulla muodossa

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ .