Tupel

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem mathematischen Begriff des n-Tupels.
Für den Begriff des Tupels im Bereich der Datenbanken siehe Tupel (Informatik).

Tupel sind endliche Folgen, deren Glieder mathematische Objekte angeben: ^[1]

‣

•

‣

{x,y}

‣

{u,v}

‣

{[x,u],[y,u]}

•

‣

x²+a

•

‣ •

Im ersten und dritten der nebenstehenden Tupel geben die Glieder Zahlen an.
Im zweiten Tupel geben die Glieder Mengen an.
Das dritte Tupel ist 1-gliedrig.
Das vierte Tupel ist leer, d.h. 0-gliedrig.
Das im i-ten Glied eines nicht leeren Tupels angegebene Objekt heißt i-te Komponente des Tupels.
Die Komponenten eines Tupels müssen nicht voneinander verschieden sein.
n-gliedrige Tupel werden kurz n-Tupel genannt.
3-Tupel, 4-Tupel 5-Tupel usw. werden auch Tripel, Quadrupel, Quintupel usw. genannt (daher der Name "Tupel")

[Bearbeiten] Explizite Niederschrift

Wie man Tupel in einem mathematischen Text angeben kann, zeigen Beispiele. Welche Art Klammern dabei verwendet werden, hängt vom Kontext ab. (Geordnete Paare stehen hier in eckigen Klammern.)

n-Tupel: ( x₁,x₂, ...x_n ) oder: ( x_i )_{i=1, ... n} oder ( x_i ) $_{i=1}^n$ oder ohne Klammern: x₁,x₂, ...x_n ^[2]

5-Tupel: $\langle$ 1,0,3,2,0 $\rangle$

3-Tupel: ( {x,y} , {u,v} , { [x,u] , [y,v] } ) (dieses Tupel ist eine Abbildung aus {x,y} $\rightarrow$ {u,v})

1-Tupel: ( x²+a )

0-Tupel: ( )

[Bearbeiten] Formale Definition

Neben der Definition von Tupeln als Folgen gibt es den eher historisch interessanten eingeschränkten Begriff von Tupel als Verallgemeinerung geordneter Paare (nach N. Bourbaki: Elements de Mathematique 1970; Theorie des Ensembles II §2.)

n-Tupel	Tupel als Verallgemeinerung geordneter Paare	Tupel als Folge die Nummerierung der Komponenten betonend	Tupel als Folge das Hintereinanderstehen der Komponenten betonend
n=0: $\,()$ :=		$\,\emptyset$	$\,\emptyset$
n=1: $\,(x_1)$ :=		$\,\{[1,x_1]\}$	$\,\{\emptyset ,\{x_1\}\}$
n=2: $\,(x_1,x_2)$ :=	$\,[x_1,x_2]$	$\,(x_1)\cup\{[2,x_2]\}$	$\,\{(x_1),\{x_2\}\}$
n>2: $\,(x_1,x_2,\cdots x_n)$ :=	$\,[(x_1,\cdots x_{n-1}),x_n]$	$\,\{(x_1,\cdots x_{n-1})\cup\{[n,x_n]\}$	$\,\{(x_1,\cdots x_{n-1}),\{x_n\}\}$
Jedes 2-Tupel ist ein geordnetes Paar:	ja	nein	nein
Das 0-Tupel ist definiert:	nein	ja	ja
1-Tupel sind definiert:	nein	ja	ja
Tupel-Länge ist eindeutig bestimmbar:	nein	ja	ja
Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn:	sie gleiche geordnete Paare sind.	beide das 0-Tupel sind; andernfalls: wenn sie gleichlang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.	wie bei Definition 2