Satz von Pick

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Der Satz von Pick, benannt nach dem österreichischen Mathematiker Georg Alexander Pick, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von einfachen Gitterpolygonen. Dies sind Vielecke, deren sämtliche Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. (Man denke sich ein Vieleck, welches auf Rechenpapier gemalt wird, mit den Eckpunkten nur in den Schnittpunkten des Gitters)

Der Satz besagt:

Sei A der Flächeninhalt des Polygons, I die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren des Polygons und R die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Polygons, dann gilt:

$A = I + \frac R 2 - 1$

In dem nebenstehenden Beispiel ist $R = 12$ und $I = 40$ . Die Fläche dieses Polygons beträgt somit $40 + 6 - 1 = 45$ Gitterquadrateinheiten.

Der Satz von Pick kann dazu benutzt werden, um die eulersche Polyederformel zu beweisen.

Betrachtet man nicht nur einfache Polygone, sondern auch solche mit „Löchern“, so muss der Summand „-1“ durch „ $- χ(P)$ “ ersetzt werden, wobei $χ(P)$ die Euler-Charakteristik des Polygons $P$ ist.

[Bearbeiten] Beweisidee

Das Theorem ist additiv: Wenn man zwei Polygone mit ganzzahligen Ecken, die sich in einer gemeinsame Strecke schneiden, zu einem Polygon mit ganzzahligen Eckpunkten verschmilzt, dann addieren sich die realen Flächen und auch die Flächen nach der Formel in dem Satz. Denn die Randpunkte im Innern der Strecke werden zu inneren Punkten, und die Endpunkte der Strecke werden zu zwei Randpunkten.
Der Satz lässt sich für achsenparallele Rechtecke unmittelbar verifizieren.
Wegen der Additivität gilt der Satz dann auch für rechtwinklige Dreiecke mit achsenparallelen Katheten, da es sich hier um halbe Rechtecke handelt.
Ebenso gilt er für Trapeze mit drei achsparallelen Seiten (rechtwinkliges Dreieck plus Rechteck). Betrachtet man zu jeder Seite des gegebenen Polygons das Trapez, das von dieser Seite, zwei vertikalen Linien durch die Endpunkte und einer fernen, aber fest gewählten horizontalen Geraden begrenzt wird, so ist die gegebene Fläche als vorzeichenbehaftete Summe dieser Trapeze darstellbar. Aus der Additivität folgt dann die Behauptung.
Alternativ zum letzten Schritt kann man auch nachweisen, dass der Satz für beliebige Dreiecke gilt, indem man durch rechtwinklige Dreiecke zu einem Rechteck ergänzt. Anschließend folgt der Satz durch Induktion, da man jedes einfache Polygon mit mehr als drei Ecken durch eine ganz im Inneren des Polygons verlaufende Diagonale in zwei einfache Polygone mit weniger Ecken zerlegen kann.

Eine interessante Folge des Satzes von Pick ist, dass ein ebenes Dreieck mit ganzzahligen Eckpunkten, das außer diesen Eckpunkten keine ganzzahligen Punkte enthält, die Fläche 1/2 hat. Sind $A B C$ und $A' B' C'$ zwei solche Dreiecke, so bildet die affine Abbildung, die $A B C$ in $A' B' C'$ überführt, das Gitter (gemeint sind hier nur die Gitterpunkte) auf sich selbst ab.

Man kann ferner zeigen, dass im Raum jeder Simplex (das ist die konvexe Hülle von vier Punkten in allgemeiner Lage), der außer den Eckpunkten keine ganzzahligen Punkte enthält, das Volumen 1/6 hat. Eine weitere Verallgemeinerung des pickschen Satzes in dieser einfachen Form scheitert aber, da die Berührfläche von zwei Polygonen beliebig viele Randpunkte haben kann, die zu Randpunkten der Vereinigung werden.