Gitter (Mathematik)
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In der Mathematik sind Gitter in gewissem Sinne regelmäßige Mengen. Sie finden u.a. Anwendung in der Gruppentheorie und der Geometrie.
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[Bearbeiten] Gitter im euklidischen Raum
Es sei 
eine Familie linear unabhängiger Vektoren des euklidischen Raums 
. Dann heißt
ein Gitter mit Basis vom Rang m. Es heißt 
eine Basismatrix von Γ. Der Rang eines Gitters ist von der Wahl der Basis unabhängig. Γ ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang m.
Die kompakte Menge
heißt die Grundmasche von Γ.
Man kann auf mittels eines Gitters Γ eine Äquivalenzrelation wie folgt definieren:
Demnach sind zwei Punkte äquivalent modulo Γ, wenn sie relativ zum Ursprung ihrer Masche die gleiche Position einnehmen.
Ein Gitter Γ heißt ganz, falls für alle 
gilt: 
, gilt zudem noch: 
spricht man von einem geradem Gitter.
[Bearbeiten] Gitter in der komplexen Zahlenebene
Indem man die komplexe Zahlenebene 
als reellen Vektorraum auffasst, kann man von Gittern in sprechen; sie sind freie abelsche Gruppen vom Rang 2. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven.
Ist allgemeiner g eine natürliche Zahl, so stehen Gitter im reell 2g-dimensionalen Raum 
in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietäten.
[Bearbeiten] Beispiele
- Sei Γ das zur Basismatrix
gehörige Gitter vom Rang 2. Dann ist 
. - Sei
. Dann ist die Grundmasche von Γ der n-dimensionale Hyperwürfel ![\mathcal{F}_\Gamma=[0,1]^n](../../../../math/2/a/c/2ac54385cc91d1ae7f1d258f505401ae.png)
, und es gilt z. B. 
. - Der Ring der gaußschen Zahlen
![\mathbb{Z}[\mathrm{i}]](../../../../math/6/0/0/60099e0f9a81595f1f7fec0f55da745a.png)
ist ein Gitter in 
.
[Bearbeiten] Gitterdiskriminante
Eine Kenngröße zur Klassifikation von Gittern ist die Gitterdiskriminante. Sie berechnet sich als Volumen der Grundmasche.
Bei Gittern im euklidischen Raum mit der Basismatrix B entspricht dies der Formel
Als Invariante ist der Wert der Gitterdiskrimante unabhängig von der gewählten Basis.
[Bearbeiten] Gitterreduktion
Die Gitterreduktion ist das Problem, aus einer gegebenen Gitterbasis eine Basis mit gewissen Eigenschaften zu berechnen, wie zum Beispiel eine Basis mit kurzen, nahezu orthogonalen Vektoren. Der LLL-Algorithmus (nach Lenstra, Lenstra und Lovász) berechnet in polynomieller Zeit eine sogenannte LLL-reduzierte Basis, mit deren Hilfe man sehr kurze Gittervektoren erhält. In der Tat liegt die Länge des ersten Vektors einer LLL-reduzierten Basis sehr nah an der Länge des kürzesten nichttrivialen Gittervektors.
Der LLL-Algorithmus hat zahlreiche Anwendungen in der Kryptanalyse von asymmetrische Verschlüsselungsverfahren, wie dem RSA-Kryptosystem und dem Merkle-Hellman-Kryptosystem, gefunden.
[Bearbeiten] Siehe auch
- Raumgruppe
- Bravais-Gitter
- Spezielle Gitter werden nach Dedekind bei der Untersuchung algebraisch ganzer Zahlen verwendet. Siehe dazu Ordnung (algebraische Zahlentheorie)
