Trapez (Geometrie)

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Trapez

ist Spezialfall von

Viereck
- konvexes Viereck

umfasst als Spezialfälle

Parallelogramm
- Rhombus (Raute),
- Rechteck
  - Quadrat

In der Geometrie ist ein Trapez (griech.: τράπεζα = Tisch) ein konvexes ebenes Viereck mit zwei parallel zueinander liegenden Seiten.

Ein Trapez ABCD mit der Höhe

h

und den Diagonalen

e

und

f

[Bearbeiten] Allgemeines

Eine der beiden parallelen Seiten (meistens die längere) wird oft als Basis des Trapezes bezeichnet, die beiden angrenzenden (im Allgemeinen nicht parallelen) Seiten als Schenkel. Im Trapez gibt es zwei Paare benachbarter Supplementwinkel (das heißt die Winkel ergänzen sich zu 180 Grad).

Die Höhe $h$ des Trapezes ist der Abstand zwischen den zwei parallelen Seiten.

Jedes Trapez besitzt zwei Diagonalen, die einander im gleichen Verhältnis schneiden.

Formeln zum Trapez
Flächeninhalt	$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Umfang	$a + b + c + d\,$
Höhe	$h = b \cdot \sin\gamma = b \cdot \sin\alpha = d \cdot \sin\delta = d \cdot \sin\beta$ $= \frac{2}{c-a} \sqrt{s (s-(c-a)) (s-b) (s-d)}$ (für $a < c$ ), mit $s=\frac{(c-a)+b+d}{2}$
Diagonalenlänge	$e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos \beta} = \sqrt{c^2 + d^2 - 2cd\cos \delta}$ $f = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad\cos\alpha} = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos\gamma}$
Seitenlängen	$a,b,c,d\,$
Größen der Innenwinkel	$\alpha,\beta,\gamma,\delta\,$

Die Formel zur Berechnung der Höhe aus den Seitenlängen lässt sich aus der heronischen Formel für die Dreiecksfläche herleiten. Die Beziehungen für die Diagonalenlängen beruhen auf dem Kosinussatz.

[Bearbeiten] Gleichschenkliges Trapez

Gleichschenkliges Trapez mit Umkreis

Ein Trapez ist gleichschenklig, wenn die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind. Die beiden – nicht notwendigerweise parallelen – Seiten sind dann gleich lang. Auch die beiden Diagonalen sind im gleichschenkligen Trapez gleich lang.

Die Eckpunkte eines gleichschenkligen Trapezes liegen auf einem Kreis k, dem Umkreis des Trapezes. Das Trapez ist somit ein Sehnenviereck dieses Kreises. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Trapezes. Das Trapez wird von der Höhe h, die durch den Umkreismittelpunkt M geht, in zwei spiegelsymmetrische Teile zerlegt.

[Bearbeiten] Verschränktes Trapez

Verschränktes Trapez

Ein verschränktes Trapez besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, die sich an einer Ecke berühren. Solch ein verschränktes Trapez kann man sich aus einem gewöhnlichen Trapez entstanden vorstellen: Ausgehend von einem gewöhnlichen Trapez wird eine der parallelen Seiten (z.B. c) so "umgedreht und verschoben", dass B der Fußpunkt des Lotes von C auf a ist und D rechts statt links von C liegt. Somit ist ein solches verschränktes Trapez ein Spezialfall eines überschlagenen Trapezes/Vierecks, bei dem eine Seite senkrecht auf den parallelen Seiten steht.

Verschränkte Trapeze werden in der Geodäsie zur Berechnung von Flächeninhalten nach dem Orthogonalverfahren verwendet^[1]. Die Differenz der Flächen der beiden Dreiecke ergibt sich zu

$F_\Delta = F_{D_1} - F_{D_2} = h\frac{a - c}2$

mit $h = \overline{BC}$ .

[Bearbeiten] Einzelnachweise

↑ Flächenberechnung in der Geodäsie (Institut für Geodäsie und Photogrammetrie, Technische Universität Braunschweig, Univ.- Prof. Dr.-Ing. habil. W. Niemeier, Kapitel 5)