Sattelpunkt

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Rot = Markierung des Sattelpunkts

In der Mathematik bezeichnet man mit Sattelpunkt oder Terrassenpunkt einen kritischen Punkt einer Funktion, genauer eines Skalarfeldes, der kein Extremwert ist. Dieser Punkt ist ein Spezialfall des Wendepunktes.

[Bearbeiten] Eindimensionaler Fall

Für Funktionen einer Veränderlichen $f:U \to \mathbb{R}$ mit $U\subseteq\mathbb R$ ist das Verschwinden der ersten Ableitung an der Stelle $x 0$

f'(x 0) = 0

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle nicht gleich 0, so liegt ein Extrempunkt und damit kein Sattelpunkt vor. Für einen Sattelpunkt muss also ebenfalls die 2. Ableitung 0 sein. Dies ist allerdings nur eine notwendige Bedingung, wie man an der Funktion $f (x) = x 4$ sieht. Ist die 3. Ableitung ungleich 0, so liegt ein Sattelpunkt vor. Genauer muss für gerades $n \in \mathbb{N}$ gelten:

$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n)}(x_0)=0 \wedge f^{(n+1)}(x_0) \neq 0$

Es sind also die ersten $n$ Ableitungen gleich 0 und die $(n + 1)$ -te Ableitung ungleich 0.

[Bearbeiten] Mehrdimensionaler Fall

[Bearbeiten] Spezifikation über Ableitungen

Für Funktionen mehrerer Veränderlichen $F:U \to \mathbb{R}$ mit $U\subseteq\mathbb{R}^n$ ist das Verschwinden des Gradienten an der Stelle $x 0$

$\nabla F(\vec{x}_0)=0$

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Ist zusätzlich die Hesse-Matrix indefinit, so liegt ein Sattelpunkt vor.

[Bearbeiten] Spezifikation direkt über die Funktion

Für den Fall, dass der Sattelpunkt mit den Koordinatenachsen ausgerichtet ist, lässt sich ein Sattelpunkt auch ganz ohne Ableitungen in einfacher Weise beschreiben: Ein Punkt $(x^*,y^*)\in U$ ist ein Sattelpunkt der Funktion $F$ , falls

$F(x,y^*) \leq F(x^*,y^*) \leq F(x^*,y)$

für alle $(x,y)\in U$ erfüllt ist. Anschaulich bedeutet dies, dass der Funktionswert von $F$ in $x$ -Richtung kleiner wird, sobald der Sattelpunkt verlassen wird, während ein Verlassen des Sattelpunktes in $y$ -Richtung ein Ansteigen der Funktion $F$ zur Folge hat. Diese Beschreibung eines Sattelpunktes ist Ursprung der Namensgebung: Ein Reitsattel neigt sich senkrecht zur Wirbelsäule des Pferdes nach unten, stellt also die $x$ -Richtung dar, während er in $y$ -Richtung, d.h. parallel zur Wirbelsäule, nach oben ausgeformt ist.

Falls der Sattelpunkt nicht in Koordinatenrichtung ausgerichtet ist, stellt sich die obige Beziehung nach einer Koordinatentransformation ein.

[Bearbeiten] Beispiel

Die Funktion

$F(x,y) = (1-x^2)\left(1+\frac{1}{4}(y-1)^2\right)\quad \textrm{in} \quad \{(x,y)\in \mathbb{R}\times [0,\infty)\}$

hat den Sattelpunkt $(0,1)$ : Ist $y = 1$ , so ist $F(x,1) = 1 - x^2 \leq 1 = F(1,1)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ . Für $x = 0$ ergibt sich $F(0,y) = 1+\frac{1}{4}(y-1)^2 \geq 1 = F(0,1)$ .

Dass $(0,1)$ ein Sattelpunkt von $F$ ist, lässt sich auch über das Ableitungskriterium beweisen. Es ist

$\nabla F(x,y) = \left[-2x\left(1+\frac{1}{4}(y-1)^2\right),(1-x^2)\frac{y-1}{2}\right],$

und nach Einsetzen von $(x, y) = (0,1)$ ergibt sich $\nabla F(0,1)=\vec{0}$ . Die Hesse-Matrix zu $F$ ist

$H(x,y) = \begin{pmatrix}-2-\frac{(y-1)^2}{2} & -x(y-1)\\ -x(y-1) & \frac{1-x^2}{2}\end{pmatrix},$

und nach Einsetzen des Sattelpunktes $(x, y) = (0,1)$ :

$H(0,1) = \begin{pmatrix}-2 & 0\\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}.$

Da ein Eigenwert von $H$ positiv ist ( $1 / 2$ ) und einer negativ ( $- 2$ ), ist die Hesse-Matrix indefinit, was nachweist, dass tatsächlich ein Sattelpunkt vorliegt.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

www.learn-line.nrw.de - Ausführliche Erklärung zum Sattelpunkt (Für Schüler)

Kategorie: Analysis

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Eindimensionaler Fall

[Bearbeiten] Mehrdimensionaler Fall

[Bearbeiten] Spezifikation über Ableitungen

[Bearbeiten] Spezifikation direkt über die Funktion

[Bearbeiten] Beispiel

[Bearbeiten] Siehe auch

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