Kritischer Punkt (Mathematik)
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Eine stetig differenzierbare Abbildung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in eine andere besitzt an einer Stelle einen kritischen oder stationären Punkt, falls dort das Differential nicht surjektiv ist. Anderenfalls handelt es sich um einen regulären Punkt.
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[Bearbeiten] Definition
Es sei 
eine offene Menge und 
eine Funktion. Ein Punkt 
heißt kritischer oder stationärer Punkt von f, genau dann wenn 
nicht surjektiv ist, d.h. wenn 
gilt, wobei 
das totale Differential bezeichnet.
[Bearbeiten] Beispiel
Eine stetig differenzierbare reellwertige Abbildung in drei Variablen besitzt genau dann einen kritischen Punkt, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
[Bearbeiten] Entartung
Im Falle einer reellwertigen Funktion kann mit Hilfe der Hesse-Matrix festgestellt werden, ob es sich um einen entarteten kritischen Punkt handelt. Dieses ist genau dann der Fall, wenn die Hesse-Matrix singulär, also nicht invertierbar, ist. Mit Funktionen ohne entartete kritische Punkte beschäftigt sich die Morse-Theorie.
Falls keine Entartung vorliegt, kann bei reellwertigen Funktionen auch festgestellt werden, ob es sich um ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder einen Sattelpunkt der Funktion handelt.
