Raumwinkel

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Physikalische Größe
Name		Raumwinkel
Größenart		Raumwinkel
Formelzeichen der Größe		Ω, ω
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	Steradiant (sr)		1¹⁾
Anmerkungen
1) Verhältnisgröße

Der Raumwinkel Ω ist als geometrische Größe des dreidimensionalen Raumes das Pendant zum (für die Ebene definierten) Winkel. Er kann definiert werden als Teilfläche S einer Kugel, dividiert durch das Quadrat des Radius $r$ der Kugel:

Ω = S / r 2

Bei Betrachtung der Einheitskugel ( $r = 1$ ) entspricht eine Teilfläche also unmittelbar dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich $4π$ .

Obwohl der Raumwinkel eine dimensionslose Größe ist, wird er zur Verdeutlichung in der Einheit Steradiant angegeben. Dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant beim ebenen Winkel.

Ein Raumwinkel von $1sr$ umschließt auf einer Kugel mit dem Radius $1m$ eine Fläche von $1m 2$ .

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Die Einheit des Raumwinkels
3 Veranschaulichung
4 Der volle Raumwinkel
5 Unabhängigkeit vom Kugelradius
6 Kanonischer Raumwinkel
7 Oosterom-und-Strackee-Algorithmus
8 Raumwinkel einer Pyramide
9 Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Kugelkoordinaten

[Bearbeiten] Definition

Der Raumwinkel $Ω$ einer beliebigen Fläche A entspricht dem Quotienten der Fläche S, die sich ergibt, wenn man A auf eine Kugel vom Radius r projiziert, dividiert durch $r 2$ :

$\Omega:=\frac{S}{r^2}=\int\!\!\!\!\int_A \frac{\hat{\vec{n}}\cdot d\vec{a}}{\rho^2}$

wobei $\hat{\vec{n}}$ der Einheitsvektor vom Ursprung, $d\vec{a}$ das differentielle Flächenelement und $ρ$ dessen Abstand vom Ursprung ist.

[Bearbeiten] Die Einheit des Raumwinkels

Da der Raumwinkel das Verhältnis zweier Flächen ist, hat er im SI (Internationales Einheitensystem) die abgeleitete Einheit 1 m²/m²; ihr ist im SI der besondere Name Steradiant mit dem Einheitenzeichen sr gegeben worden. Da 1 sr = 1 m²/m² = 1 ist, kann das Einheitenzeichen sr grundsätzlich auch weggelassen werden. In Anwendungsfeldern, bei denen intensiv mit Raumwinkeln gerechnet wird, ist es aber hilfreich, schon an der verwendeten Einheit erkennen zu können, welche physikalische Größe gemeint ist. Deswegen lässt man in der Lichttechnik "sr" nie weg. Die SI-Einheiten für Lichtstärke und Lichtstrom unterscheiden sich nur durch Steradiant.

[Bearbeiten] Veranschaulichung

Folgendes Bild veranschaulicht die Situation:

Anders als das Bild vielleicht vermuten ließe, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform eine Halbgerade (auch Strahl genannt) mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. (Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.)

[Bearbeiten] Der volle Raumwinkel

Da die ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt $S = 4π r 2$ besitzt, ist der zugehörige volle Raumwinkel

$\Omega = \frac{S}{r^2} = \frac{4 \pi r^2}{r^2} = 4 \pi \mathrm{sr} \approx 12{,}57\ \mathrm{sr}$

[Bearbeiten] Unabhängigkeit vom Kugelradius

Man betrachte zwei konzentrische Kugeln mit den Radien $r 1$ und $r 2$ , und ein Flächenstück S auf der ersten Kugel. Man nehme nun alle Strahlen aus dem Mittelpunkt der Kugeln durch S.

Die Schnittpunkte der Strahlen mit der zweiten Kugel bilden eine Fläche S'. Deren Fläche beträgt dann das $\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2\text{-fache}$ von S, da alle Abmessungen im Verhältnis $\frac{r_2}{r_1}$ verändert wurden. Der Raumwinkel bleibt aber unverändert und damit unabhängig vom Kugelradius.

[Bearbeiten] Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrissform einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann einen geraden Kreiskegel, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Bei einem gegebenen Öffnungswinkel $ω$ des Kegels berechnet sich der Raumwinkel zu

$\Omega = 2 \pi \left(1-\cos\frac{\omega}{2}\right) = 4 \pi \sin^2 \frac{\omega}{4}$

Man sieht, dass der Vollwinkel - die Umrissform erfasst dabei alle Raumrichtungen per $ω = 2π$ - dem vollen Raumwinkel von $4π$ entspricht.

[Bearbeiten] Oosterom-und-Strackee-Algorithmus

Ein effizienter Algorithmus zur Berechnung des Raumwinkels eines allgemeinen Dreiecks mit Vektoren R₁, R₂ und R₃ – betrachtet vom Ursprung – wurde von Oosterom und Strackee (IEEE Trans. Biom. Eng., Vol BME-30, Nr 2, 1983) bewiesen zu:

$\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = \frac{[ {\mathbf R}_{1}{\mathbf R}_{2}{\mathbf R}_{3}]}{ R_{1}R_{2}R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{2})R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{2} + ( {\mathbf R}_{2} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{1}}$

wobei:

[R₁R₂R₃] eine Determinante darstellt,

R_i ist der Abstand des Punktes i zum Ursprung,

R_i·R_j ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

[Bearbeiten] Raumwinkel einer Pyramide

Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriß entspricht der geometrischen Form einer Pyramide, wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe, s. Abbildung. Dieser Raumwinkel tritt z.B. bei der Berechnung des Etendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er läßt sich sehr leicht über den Oosterom-und-Strackee-Algorithmus berechnen. Mit der Pyramidengrundfläche w_x und w_y sowie der Höhe h ergibt sich:

$\Omega = 4 \arctan \frac{w_x \cdot w_y}{2h\cdot \sqrt{4 h^2 + w_x^2 + w_y^2}}$

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel 2φ_x und 2φ_y (wobei tan φ_x = w_x/2h und tan φ_y = w_y/2h), so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:

$\Omega = 4 \arcsin \left( \sin \varphi_x \sin \varphi_y \right)$

[Bearbeiten] Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Kugelkoordinaten

Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Polarkoordinaten

In einem Kugelkoordinatensystem bestimmen der Meridianwinkel φ und der Breitenwinkel γ einen Punkt auf einer Kugeloberfläche, jeweils zwei Winkel φ₁, φ₂, γ₁ und γ₂ ein Flächenelement. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

$\Omega = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\gamma_1}^{\gamma_2} \sin \gamma \, \mathrm{d}\gamma \, \mathrm{d}\varphi$

Kategorie: Raumgeometrie

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