Primzahlzwilling
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Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist, also zum Beispiel: (3 und 5) oder (5 und 7) oder (11 und 13).
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[Bearbeiten] Geschichtliches
Der Begriff Primzahlzwilling wurde erstmals von Paul Stäckel benutzt.
[Bearbeiten] Definition
Primzahlzwillinge nennt man zwei Primzahlen p1 und p2, deren Differenz p2 − p1 = 2 ist. Die Primzahl p2 = p1 + 2 wird dabei auch als Primzahlzwilling zur Primzahl p1 bezeichnet.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Mit Ausnahme des Primzahlzwillings (3,5) liegt zwischen den beiden Primzahlen eines Primzahlzwillings immer eine durch 6 teilbare Zahl. Jede ganze Zahl lässt sich nämlich in der Form 6n − 2, 6n − 1, 6n, 6n + 1, 6n + 2 oder 6n + 3 darstellen, wobei n eine ganze Zahl ist. Zahlen der Form 6n − 2, 6n und 6n + 2 sind durch 2 teilbar und können deswegen mit Ausnahme der Zwei keine Primzahlen sein. Zahlen der Form 6n + 3 sind durch 3 teilbar und können deswegen mit Ausnahme der Drei auch keine Primzahlen sein. Somit haben alle Primzahlen über 3 die Form 6n − 1 oder 6n + 1. Daraus folgt, dass jeder Primzahlzwilling mit Ausnahme von (3,5) die Darstellung (6n − 1,6n + 1) hat.
Des Weiteren folgt auch
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Mit Ausnahme von n=1 ist die letzte Ziffer eines n eine 0, 2, 3, 5, 7 oder eine 8, da im anderen Fall eine der beiden Zahlen 6n-1 bzw. 6n+1 durch 5 teilbar und damit keine Primzahl wäre.
Mit einer ganzen Zahl n lässt sich jede ungerade Zahl in der Form 30n+1, 30n+3, 30n+5, 30n+7, ..., 30n+25, 30n+27, 30n+29 (letztere auch als 30n-1) darstellen. Primzahlen (außer 3 und 5) sind aber nie von einer der 7 Formen 30n+3, 30n+5, 30n+9, 30n+15, 30n+21, 30n+25 und 30n+27, da Zahlen dieser 7 Formen stets durch 3 oder durch 5 teilbar sind.
Daher hat jedes Primzahlzwillingspaar (außer (3,5) und (5,7)) mit einer ganzen Zahl n genau eine der drei Formen
(30n-1, 30n+1), (30n+11, 30n+13), (30n+17, 30n+19)
bzw. die letztere Darstellung, um die Symmetrie zu (30n+11, 30n+13) zu verdeutlichen, alternativ geschrieben als (30n-13, 30n-11).
[Bearbeiten] Sonstiges
Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (3; 5).
Das größte derzeit bekannte Paar von Primzahlzwillingen ist
- ,
das sind Zahlen mit 58.711 Ziffern. Das Zahlenpaar wurde von Twin Prime Search mit Unterstützung des DC-Projekts PrimeGrid gefunden. Der bisherige Rekord aus dem Jahr 2006 wurde damit um gut 7000 Ziffern übertroffen.
Zwei Primzahlzwillinge mit dem Abstand von vier, also Folgen der Form , nennt man Primzahlvierlinge.
[Bearbeiten] Offene Fragestellung
Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren, ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Zwar veröffentlichten die Mathematiker Dan Goldston und Cem Yıldırım 2003 einen Beweis, mit dem sie zeigen wollten, dass es in der unendlichen Folge der Primzahlen immer wieder kleine Abstände zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen gibt; jedoch lag ein Fehler in dem 25-seitigen Beweis vor. Im Mai 2005 konnten Goldston und Yıldırım et al. eine Korrektur vorlegen. Diese wurde von den damaligen Fehlerfindern überprüft und als korrekt gewertet. Der neue, nun saubere Beweis zeigt zudem eine neue Methode auf, die es ermöglichen sollte, den endgültigen Beweis zur Anzahl der Primzahlzwillinge abzuschließen und gilt daher als "großer Durchbruch".
Die Summe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent, jedoch hat Viggo Brun im Jahr 1919 bewiesen, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Aus dieser Tatsache kann man nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Der Grenzwert der Summe wird Brunsche Konstante genannt und beträgt nach der neuesten Schätzung von 2002 etwa 1,902160583104.