Lineares System (Systemtheorie)
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In der Mathematik beschreibt der Begriff lineares System ein System linearer Gleichungen. Ein Beispiel ist das lineare Gleichungssystem, bei dem die Lösungen der Gleichungen Zahlen sind, ein lineares System kann aber auch ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen meinen oder einfache funktionale Zusammenhänge.
[Bearbeiten] Lineare Systeme in der Systemtheorie
In der Systemtheorie, die sich als Nachfolger und Metatheorie der Regelungstechnik, Operations Research und Dynamische Optimierung versteht, ist ein System ein Modell für einen hinreichend gut isolierten Teil der Natur (erster oder zweiter Art). Als solches hat es Zustandsgrößen und eine Dynamik, die die zeitliche Entwicklung dieser beschreibt. Von außerhalb des abgesonderten Bereichs gibt es Wechselwirkungen, die zwar als schwach angenommen werden, aber vorhanden sind. Diese modifizieren die innere Dynamik. Um steuernd und regelnd eingreifen zu können, muss der Zustand des Systems hinreichend bekannt sein. Jedoch sind beobachtbare Größen meist nur Funktionen der inneren Zustandsgrößen, welche den inneren Zustand nicht eindeutig charakterisieren.
Ein lineares System ist nun ein System, in welchem alle auftretenden Funktionen, der Dynamik, der äußeren Einflüsse und der Beobachtung, (möglicherweise nichtlinear von der Zeit abhängige) lineare Abbildungen sind.
Allgemein kann man ein mathematisches Modell eines Systems mit innerem Zustand x(t), äußeren Einflüssen u(t) und Beobachtungen y(t) darstellen als
wobei A und C die das System beschreibenden Funktionen sind. Ein mathematisches Modell eines linearen Systems hat dann die Form
wobei A, B, C, D zeitabhängige Matrizen passender Dimensionen sind, insbesondere muss A quadratisch sein. Die Matrizen können zu einer Blockmatrix zusammengefasst werden, diese heißt dann Systemmatrix.
Speziellere Beispiele, y(t) sei ein Ausgang, u(t) ein Eingang, beides eindimensionale reelle Funktionen:
| 1. | y(t) = d(t)u(t) | lineares System |
| 2. | y(t) = u(t)u(t) | nichtlineares System |
Ein lineares System ist ein lineares zeitinvariantes System (LZI-System), wenn die Systemmatrix nicht von der Zeit t abhängt.
