Hadamard-Matrix

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Eine Hadamard-Matrix vom Grad n ist eine -Matrix, die ausschließlich die Zahlen 1 und − 1 als Koeffizienten enthält und bei der zudem alle Spalten orthogonal zueinander sind, ebenso alle Zeilen.

Hadamard-Matrizen sind nach dem französischen Mathematiker Jacques S. Hadamard benannt.

Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Konstruktion 2.1 Konstruktion nach Sylvester 2.1.1 Walsh-Matrizen 2.2 Konstruktion über das Legendre-Symbol 3 Die Hadamard-Vermutung 4 Anwendungen

[Bearbeiten] Eigenschaften

Aus der Orthogonalität der Zeilen und Spalten folgt für eine Hadamard-Matrix H die Beziehung:

Dabei bezeichnet H^t die transponierte Matrix zu H und E die Einheitsmatrix. Diese Gleichung kann auch zur Definition von Hadamard-Matrizen benutzt werden, da unter allen Matrizen, deren Einträge ausschließlich aus den Zahlen 1 und − 1 bestehen, nur Hadamard-Matrizen diese Gleichung erfüllen.

Es lässt sich zeigen, dass nur dann Hadamard-Matrizen existieren können, wenn n = 1, n = 2 oder n = 4k mit gilt.

Enthalten die erste Spalte und die erste Zeile von H nur 1-Einträge, so heißt die Matrix normalisiert.

[Bearbeiten] Konstruktion

Es gibt verschiedene Methoden, Hadamard-Matrizen konstruktiv zu finden. Hier sind zwei davon:

[Bearbeiten] Konstruktion nach Sylvester

Diese Konstruktion geht auf den englischen Mathematiker James J. Sylvester zurück. Ist H_n eine Hadamard-Matrix vom Grad n, so lässt sich damit folgendermaßen eine Hadamard-Matrix vom Grad 2n konstruieren:

Das rechnet man leicht nach:

[Bearbeiten] Walsh-Matrizen

Damit ergibt sich zum Beispiel folgende Folge von Matrizen, die nach dem Mathematiker Joseph Leonard Walsh benannten Walsh-Matrizen:

Die Walsh-Matrizen sind normalisierte Hadamard-Matrizen vom Grad 2^k.

[Bearbeiten] Konstruktion über das Legendre-Symbol

Man definiert sich bei dieser Konstruktion zunächst die Jacobsthal-Matrix Q = (q_ij) vom Grad p (wobei p eine Primzahl ist) mit Hilfe des Legendre-Symbols (a / p):

Ist nun p = 4k − 1 mit , so gilt:

Q^t = − Q

und:

wobei J die Matrix bezeichnet, bei der alle Einträge 1 sind. Nun konstruiert man die Hadamard-Matrix vom Grad p + 1:

Auch hier kann man Nachrechnen, dass dies eine Hadamard-Matrix ist (benutze Q^t = − Q und ):

So konstruierte Matrizen heißen Hadamard-Matrizen vom Paley-Typ, nach dem englischen Mathematiker Raymond E.A.C. Paley.

[Bearbeiten] Die Hadamard-Vermutung

Es wird vermutet (konnte aber noch nicht bewiesen werden), dass zu jeder Zahl n = 4k wenigstens eine Hadamard-Matrix existiert. Diese Vermutung geht wahrscheinlich auf Paley zurück. Mit den beiden oben genannten Verfahren kann man Hadamard-Matrizen für alle Zahlen n der Form n = 2^k oder n = p + 1 für eine Primzahl p erzeugen. Es gibt weitere Verfahren, allerdings lassen sich damit nicht alle Möglichkeiten abdecken. So wurde bis 2005 noch keine Hadamard-Matrix zu n = 668 gefunden. 1977 war die Frage noch für n = 268 ungeklärt.

[Bearbeiten] Anwendungen

Hadamard-Matrizen finden Anwendung im Bereich der Fehlerkorrigierenden Codes, wo sie benutzt werden, um zum Beispiel Hadamard-Codes oder Reed-Muller-Codes zu erzeugen. In der Statistik werden sie benutzt, um Varianzen von Variablen zu berechnen.