Hadamardmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskunde, is een Hadamardmatrix een vierkante matrix waarvan de elementen +1 dan wel −1 zijn, en waarvan de rijen onderling orthogonaal zijn. Dat wil zeggen dat elk tweetal van elkaar verschillende rijen in een Hadamardmatrix twee loodrechte vectoren representeren. Dergelijke matrices zijn vrijwel ongewijzigd bruikbaar als een foutcorrigerende code (waarvan overigens de Reed-Mullercode een generalisatie is), en worden ook toegepast in 'balanced repeated replication' (BRR), toegepast door statistici om de variantie van een parameter-schatter vast te stellen. Hadamardmatricess zijn genoemd naar de Franse wiskundige Jacques Hadamard.

[bewerk] Eigenschappen

Uit de definitie volgt dat voor een Hadamardmatrix H van orde n geldt dat

waarbij I_n de n × n eenheidsmatrix is. Dus .

Neem aan dat M een complexe matrix is van de orde n, waarvan de elementen worden begrensd door |M_ij| ≤1, voor alle i, j tussen 1 en n. Dan stelt de ongelijkheid van Hadamard dat

Gelijkheid wordt in deze vergelijking bereikt voor een reële matrix M dan en slechts dan als M een Hadamardmatrix is.

De orde van een Hadamardmatrix moet zijn 1, 2, of een veelvoud van 4.

[bewerk] Sylvester's constructie

Voorbeelden van Hadamardmatricess werden als eerste geconstrueerd door James Joseph Sylvester in 1867. Zij H een Hadamardmatrix van orde n. Dan is de gepartitioneerde matrix

een Hadamardmatrix van de orde 2n. Deze constatering kan worden herhaald, waardoor een rij matrices ontstaat, bekend onder de naam Walsh matrices.

en

voor , waarbij staat voor het Kroneckerproduct.

Op deze wijze construeerde Sylvester voor elk niet-negatief geheel getal k een Hadamardmatrix van de orde 2^k. ^[1]

Sylvester's matrices bezitten een aantal speciale eigenschappen. Ze zijn symmetrisch en hebben een spoor gelijk aan nul. De elementen in de eerste kolom en de eerste rij zijn allemaal positief. Van de elementen in alle andere rijen en kolommen zijn er evenveel positief als negatief. Sylvester matrices zijn nauw gerelateerd aan Walshfuncties.