Gnomonische Projektion

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Die gnomonische Projektion, auch Zentralprojektion genannt, ist ein Kartennetzentwurf mit dem Projektionszentrum im Mittelpunkt einer Kugel. Bei Erdkarten ist das der Erdmittelpunkt. Die Projektionsfläche ist eine Ebene, welche die Kugel in einem Punkt berührt. Zum Rand hin wird das Bild stark verzerrt. Für topografische Karten ist die gnomonische Projektion deshalb nicht geeignet. Ihr Nutzen ergibt sich daraus, dass alle Großkreise und damit alle Orthodrome als Geraden abgebildet werden. Will man von P1 nach P2 navigieren, so kann man in einer Karte mit gnomonischer Projektion die Wegstrecke durch Verbinden der Punkte mit einer geraden Linie ermitteln. Deshalb finden diese Karten in der Navigation zur See und in der Luft sowie in der Funknavigation Anwendung.

Die gnomonische Projektion erlaubt die Abbildung von weniger als einer Halbkugel um den Berührungspunkt. Der die Halbkugel begrenzende Großkreis würde dabei ins Unendliche projiziert werden. Aufgrund der mit steigender Entfernung vom Projektionszentrum stark zunehmenden Verzerrungen beschränkt man die Kartenprojektion meist auf einen Winkelbereich von etwa 60° um das Projektionszentrum.

Die Abbildungsgleichung in polarer (normaler) Lage ist für das Azimut

α = λ

und für den Radius

m = rtanδ

wobei r ein Maßstabsfaktor ist.

Ist die Projektionsfläche wie in der Abbildung gezeigt in normaler Lage, d.h. sie berührt die Erde im Pol, so werden die Breitenkreise als konzentrische Kreise um den Pol und die Meridiane als radiale Geraden abgebildet. Der Kartennetzentwurf lässt sich mit Hilfe von Zirkel und Lineal ausführen.

Bei der transversalen gnomonischen Projektion, bei der der Berührungspunkt auf dem Äquator liegt, werden die Meridiane als parallele Geraden, die Breitenkreise als Hyperbeln abgebildet. Der Äquator ist eine Gerade, die die Meridiane senkrecht schneidet.

Die schiefe gnomonische Projektion, bei der die Karte einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche berührt, werden die Meridiane ebenfalls als Geradenbündel abgebildet, die Breitenkreise bilden Kegelschnitte.

[Bearbeiten] Veranschaulichung

Wenn man einen Globus von innen beleuchtet (mit nahezu punktförmiger Lichtquelle im Zentrum des Globus), so dass die Globusoberfläche an eine ebene Wand projiziert wird, so entspricht dieses Abbild an der Wand der gnomonischen Projektion.

[Bearbeiten] Historisches

Der Name leitet sich von Gnomonik ab, dem das griechische Wort γνόμον gnomon 'Schattenstab, Gnomon' zugrunde liegt. Damit wird der Schattenstab einer Sonnenuhr bezeichnet. Der Schattenwurf der Sonne lässt sich als Zentralprojektion darstellen. Diese war in der Antike bereits bekannt und wurde damals zur Konstruktion von Sonnenuhren verwendet. Eine solche Konstruktionsvorschrift ist uns mit dem Analemma von Vitruv überliefert.