Gefangenenparadoxon
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Das Gefangenenparadox ist ein Paradoxon über bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Bayesformel. Es ist nicht zu verwechseln mit dem Gefangenendilemma der Spieltheorie.
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[Bearbeiten] Formulierung des Problems
„In einem Gefängnis sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene: Anton, Brigitte und Clemens. Genau einer von ihnen soll begnadigt werden. Dazu wird ein Los gezogen, das allen die gleiche Chance gibt, begnadigt zu werden. Der Gefangene Anton, der also eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte oder Clemens zu nennen, der oder die sterben muss. Der Wärter antwortet ‚Brigitte‘. Wie hoch ist nun Antons Überlebenswahrscheinlichkeit?“
Die Lösung ist: 1/3;. Denn man setze Ω = {A,B,C} nach den Anfangsbuchstaben der Akteure, und hierauf die Zufallsvariable L, die den Losentscheid darstellt, und auf Ω abbildet. Es gilt 
, das heißt: L ist gleichverteilt. Weiterhin sei G eine Zufallsvariable die angibt, wen der Wärter nennt, es gilt als Teil der Aufgabe für 
: 
.
Die Überlebenswahrscheinlichkeit für Anton ist also nach der Bayesformel:
.
[Bearbeiten] Paradox
Das Paradoxe an dieser Rechnung ist, dass seine Überlebenschance noch immer 1/3 ist, obwohl nun nur noch er und Clemens zur Debatte stehen. Die Überlebenswahrscheinlichkeit von Clemens ist allerdings auf 2/3 gestiegen.
Etwas verständlicher wird dies, wenn man 100 Gefangene betrachtet. Einer soll begnadigt werden. Antons Überlebenschancen als einer der Hundert liegen bei 1/100 und die Wahrscheinlichkeit, dass jemand anderes überlebt, bei 99/100. Anton bittet den Wärter, 98 der übrigen 99 Namen zu nennen, die sterben müssen. Ist der Wärter mit dem Aufzählen der Namen fertig, bleiben Clemens und Anton selbst übrig. Da die Wahrscheinlichkeit, dass jemand anderes als er selbst überleben wird, sehr hoch ist und Clemens als einziger nicht genannt wurde, ist es sehr wahrscheinlich, dass Clemens begnadigt wurde. Die Überlebenswahrscheinlichkeit von Anton beträgt weiterhin 1/100, die von Clemens 99/100.
[Bearbeiten] Äquivalenz mit dem Ziegenproblem
Es liegt dem Gefangenenproblem derselbe Sachverhalt zugrunde wie dem Ziegenproblem. Dabei sind die Ereignisse der Begnadigung mit denen der Existenz des Gewinnes hinter einem Tor zu identifizieren, weiter das Öffnen eines Tores mit der Nennung eines Opfers und der Wärter mit dem Moderator. Wissen und Verhalten des Wärters ist dem des Moderators äquivalent. Im Moderator oder Wärter wird bloß das Verhalten der Wahrscheinlichkeiten subsumiert.
[Bearbeiten] Anschauliche Lösung
Durch die Nennung eines Opfers gewährt der Wärter dem Fragenden neue Informationen, jedoch ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit mit und ohne Kenntnis der Antwort vom selben Wert.
Man nimmt an, dass die Auswahl-Wahrscheinlichkeit eines jeden Gefangenen zunächst gleich sei. Somit betrage die Verlustwahrscheinlichkeit für jeden Gefangenen 2/3, da jedes der drei Ereignisse gleichwahrscheinlich ist.
Der Wärter nennt einen vom Fragenden und vom Gewinner verschiedenen Gefangenen. Teilt man die Menge der Gefangenen in die nur den Fragenden enthaltende und die Restmenge, ist der Gewinner Element einer der beiden Mengen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinner Element einer Menge ist, steht durch die Verteilung der Zufallsvariablen fest.
Folglich ist die Nennung eines Opfers aus der Restmenge zwar relevant, aber die Gewinnwahrscheinlichkeit des Fragenden zu überleben, ist ohne und unter Zuhilfenahme der Antwort gleich.
[Bearbeiten] Zusatz zu den obigen Überlegungen
„Nachdem also Anton die Antwort des Wärters bekommen hat, besucht der Wärter Clemens. Clemens fragt den Wärter was dieser bei Anton gemacht habe. Der Wärter erzählt ihm die Geschichte. Worauf nun Clemens antwortet: Gott sei Dank habe ich nicht zuerst gefragt!“
Paradoxerweise kommt es tatsächlich darauf an, wer die Antwort erhalten hat.
Betrachten wir die Frage: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Anton begnadigt wurde unter der Bedingung, dass Brigitte nicht begnadigt wurde?“
Zunächst gelten die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(Wenn Anton begnadigt ist, kann Brigitte nicht begnadigt sein)
Das Ergebnis folgt dann unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:
Nun haben wir zwei Lösungen, die sich scheinbar widersprechen. Was ist der Grund dafür?
Der Grund ist, dass die Antworten unter unterschiedlichen Bedingungen stattfinden. In der Fragestellung wird die Antwort des Wärters von der vorher stattgefundenen Auswahl beeinflusst. Wird dieser Einfluss nicht mit berücksichtigt, gehen Informationen verloren, und das spiegelt sich in der Verschiebung der Wahrscheinlichkeit wider.
[Bearbeiten] Siehe auch
Verwandte Themen, bei denen man aus Teilinformation die optimale Entscheidung des Restproblems treffen kann:
