Diskussion:Gefangenenparadoxon

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Inhaltsverzeichnis 1 Die Lösung 2 Weitere Ungenauigkeit 3 Etwas fehlt... 4 Zum Abschnitt: Korrektur der obigen Überlegungen 5 Ist der Artikel nicht überflüssig? 6 Zusatz zu den Überlegungen 7 Formulierungsfehler

[Bearbeiten] Die Lösung

Wie ist sie denn nun? Einmal heißt es 1/2 und zweimal 1/3. Ich tippe auf 1/3.

• "Wie hoch ist nun Antons Überlebenswahrscheinlichkeit? Die Lösung ist: 1/2"
• "Die Überlebenswahrscheinlichkeit für Anton ist also nach der Bayesformel: P(L = A | G = B) = P(L = A)P(G = B | L = A) / (L = A)P(G = B | L = A) + P(L = B)P(G = B | L = B) + P(L = C)P(G = B | L = C)) = 1 / 3 * 1 / 2 / (1 / 3 * 1 / 2 + 0 + 1 / 3 * 1) = 1 / 3."
• "Das Paradoxe an dieser Rechnung ist, seine Überlebenschance noch immer 1/3 ist,"

--AchimP 13:06, 8. Apr 2006 (CEST)

Das hat schon ein anderer klarer gestellt, und ich hab mal soviel TeX gelernt, wie nötig war, um den Krempulus zu setzen. Die anschauliche Auflösung wäre eventuell für den Fall von vier Gefangenen klarer, aber das mag täuschen: mir gefällt es so besser. --Richardigel 15:06, 11. Apr 2006 (CEST)

Wer hat wo klarer gestellt, was denn nun die richtige Lösung ist? Was meinst Du? Die Lösung ist sowohl 1/2 als auch 1/3? Wohl kaum. --AchimP 16:33, 11. Apr 2006 (CEST)

Ich meinte: den Fehler hat schon ein anderer im Artikel beseitigt (hatte ihn nämlich auf Anhieb nicht gesehen). Das war aber falsch, du hattest damit recht, er enthielt einen Fehler. Die richtige[tm] Lösung heißt 1/3. --Richardigel 15:40, 13. Apr 2006 (CEST)

--sach 00:14, 15. Apr 2006 (CEST)
Die Lösung 1/3 ist falsch. Die Information des Wärters, dass B sterben muss, schließt nur den Fall aus, dass B begnadigt wird. Es bleiben die Fälle (A stirbt, B stirbt, C begnadigt) und (A begnadigt, B stirbt, C stirbt) übrig. Beide gleich wahrscheinlich.

Bei der Anwendung der Bayesformel wurde folgender Wahrscheinlichkeitsbaum angenommen:

1.1. A begnadigt, Wärter nennt B (w=1/6)
1.2. A begnadigt, Wärter nennt C (w=1/6)
2. A stirbt, B begnadigt, Wärter nennt C (w=1/3)
3. A stirbt, Wärter nennt B, C begnadigt (w=1/3)

Nun wurde die Information "Wärter nennt B" logisch falsch interpretiert, nämlich, dass man nur noch die Äste 1.1. und 3. zur Verfügung hat. (Dann wäre in der Tat die Chance für A begnadigt 1/6:1/3=1/3) Der Fehler liegt aber in der logischen Interpretation der Ausssage: "Wärter nennt B". Diese Aussage schließt nur den Ast 2., sie schließt nicht 1.2 aus!

Damit ist die Chance für A begnadigt = (1/6+1/6):1/3=1/2

-)

Leider kann man die Bayesformel nicht direkt aus einem Baum ablesen. Ich verstehe auch deine Gleichung (1/6+1/6):1/3 = 1/2 nicht, wo soll das herkommen? Auf der Hauptseite des Artikels steht ein streng formaler Beweis, es sollte mich wundern, wäre er falsch. --84.184.249.33 10:54, 17. Apr 2006 (CEST)

Ich glaube, er ist falsch: P(L = A | G = B) = P(L = A)P(G = B | L = A) / (L = A)P(G = B | L = A) + P(L = B)P(G = B | L = B) + P(L = C)P(G = B | L = C)) = 1 / 3 * 1 / 2 / (1 / 3 * 1 / 2 + 0 + 1 / 3 * 1) = 1 / 3." - wieso ist P(G = B | L = C) = 1 gesetzt worden? Nach der Voraussetzung P(G = k | L = l) = 1 / 2 für k≠l müsste auch P(G = B | L = C) = 1 / 2 sein (da B≠C!) und somit P(L = A | G = B) = 1 / 2!--Vanda1 11:11, 14. Dez. 2006 (CET)

Hmm, Abschnitt "Als Teil der Aussage gilt:" ist offenbar falsch. P(G = B | L = C) = 1, denn: falls Clemens überlebt und Anton stirbt, so muss der Wärter notwendig Berta als weiteren Überlebenden nennen, darum die eins. Ich formuliere es heute abend einmal verständlich. igel+- 11:25, 14. Dez. 2006 (CET)

Nein, es gilt natürlich P(G = B | L = C) = 1 und P(G = B | L = A) = 0, falls Clemens überlebt und Anton stirbt, und P(G = B | L = C) = 0 und P(G = B | L = A) = 1, falls Clemens stirbt und Anton überlebt. Da mann das aber nicht weiß, ist die gemachte Annahme korrekt: P(G = B | L = l) = 1 / 2 für l≠B.--Vanda1 13:51, 14. Dez. 2006 (CET)

Man weiß es, denn der Wärter hat ja Anton genannt. Darum ist auch P(L=A) = 0. igel+- 14:14, 14. Dez. 2006 (CET)

P(L=A) = 0???? Dann ist der Zähler 0 und die Wahrscheinlichkeit für den armen Anton zu überleben ebenfalls null! Außerdem hat der Wächter B (Berta=Brigitte) genannt...--Vanda1 14:23, 14. Dez. 2006 (CET)

Ahh, mit Anton meine ich natürlich Brigitte, nur um Missverständnisse zu vermeiden. Bin gerade nicht recht bei der Sache - aber du ahnst ja, worauf die Sache hinausläuft. Man muss diesen Voraussetzungssatz töten, mit dem ich mir den Verweis auf Laplace und seine Prinzipien sparen wollte. Man muss es aber doch erwähnen. igel+- 14:30, 14. Dez. 2006 (CET)

Mal ganz anschaulich: Das ist doch einfach bedingte Wahrscheinlichkeit. Unter dem Wissen, was B hingerichtet wird, bleiben für die Begnadigung noch 2 Personen über. Macht 50%. Anderst wäre es, wenn zwar schon gelost wurde, A aber nicht weiß, dass B hingerichtet werden wird. Dann kann er immer noch nur sagen, dass 1 von 3 Personen (p=1/3) genadigt wird. Da aber die Aufgabenstellung klar vorgibt, dass zeitlich erst der Wärter befragt wird und anschließend (mit diesen Wissen) die Wahrscheinlichkeit für das Überleben von A berechnet werden soll, ist p=0.5 Acid47 14:22, 1. Mai 2006 (CEST)

Du irrst. Aber wenn Du Dich so gut mit bedingter Wahrscheinlichkeit auskennst, dann kannst Du doch sicher den Fehler in der Bayesformel aufzeigen. "Anschaulich" finde ich neben der Bayesformel folgendes: Die Tatsache, dass der Wärter B nennt, gewährt A keinerlei neue relevante Erkenntnisse. Es zeigt ihm nur, dass es unter seinen beiden Mitgefangenen mindestens einen gibt, der nicht begnadigt wird. Das wusste er aber bei drei Kanditaten und einer Begnadigung schon vorher. Also gelten die Wahrscheinlichkeiten wie vor der Nennung. --AchimP 14:50, 1. Mai 2006 (CEST)

In der Tat muss ich meine Meinung revidieren. Das [[1]] ist im Prinzip sehr ähnlich und das hat mich zur Anderung meiner Meinung bewogen. Acid47 15:10, 1. Mai 2006 (CEST)

---Das steht doch unten beschrieben. Ursprüngliche Aufgabe: es bleibt bei 1/3! Bei Änderung der Aufgabenstellung würde sich die Wahrscheinlichkeit auf 1/2 verändern!---

Kommentare fügt man unten an. Im Text war zuvor ein Tippfehler, siehe die drei zitierten Stellen. --AchimP 18:18, 2. Mai 2006 (CEST)

Ich habe den Text der Lösung ersetzt, da die Antwort des Wärters durchaus neue Informationen liefert. Ausserdem habe ich auf das Ziegenproblem verwiesen. Dort ist ja auch die Mehr-Als-Drei-Personen-Variante besprochen. Bitte entschuldigt, dass ich nicht vorher die Diskussion fortgesetzt habe. @Acid47: Deine Anschaulichkeit dreht dir einen Strick. Deine Aussage ist zwar richtig, aber nicht die Antwort. Natürlich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinner unter der Menge der Gefangenen ausser dem Genannten befindet, zwei Drittel, wovon eine Hälfte auf jedes Element entfällt. Man möchte aber wissen, wie sich auswirkt, dass auch der Wärter hat wählen müssen. --FriedrichR 14:22, 8. Jun 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Weitere Ungenauigkeit

Meines Erachtens hat sich eine weitere Ungenauigkeit eingeschlichen. Nach dem Wortlaut ist es so, dass EIN Los gezogen wird, aus dem sich auf irgendeine Art das Ergebnis ablesen lässt (z.B. Name des Glückspilzes). Bei dieser Variante stellt sich jedoch folgende Frage: Für jeden ist die Wahrscheinlichkeit, dass sein Name auf dem Los steht genau gleich (1/3). Wenn jetzt einer wegfällt (aufgrund der Information), ändert sich das Verhältnis der übrigen nichts...man hat lediglich die Info, dass es der Genannte nicht ist. Sonst würde sich die Überlebenswahrscheinlichkeit danach richten, welcher der beiden anderen gefragt hätte. Nur weil Gefangener 1 weiß, dass Gef.3 nicht auf dem Los steht, heißt das nicht, dass "dessen Wahrscheinlichkeitsanteil" lediglich auf Gef. 2 fällt. Vielmehr verteilt sich diese auf die beiden anderen gleichmäßig.

Folgt man aber der Variante, dass JEDER ein Los zieht (und das noch möglichst gleichzeitig), dann ist man für den einzelnen wieder beim Ziegenproblem mit der Abwandlung, dass er sein Los nicht wechseln kann und daher das "Verbleiben auf dem Tor" vorprogrammiert ist. Somit erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 1/3.

Habe ich einen Denkfehler?

Ja! Wie bei so vielen Diskussionen zum Thema Stochastik kann ich dem unsignierten Einwurf überhaupt nicht folgen. Die genannte Lösung besteht aus zwei Schritten: Der Überführung in Zufallsvariablen und anschließend der Rechnung mit ihnen. Welcher Teil passt dir nicht? igel+- 01:13, 7. Okt 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Etwas fehlt...

Ist klar, dass der Wärter im Falle von Antons Überleben mit gleicher Wahrscheinlichkeit Brigitte oder Clemens benennt? --Scherben 17:52, 9. Okt. 2006 (CEST)

Öhh, falls nicht, kann man nicht mehr gescheit rechnen, man könnte dann mit dem Laplace'schen Grundsatz rechnen, oder aber naserümpfend verkünden, es gäbe keine Lösung. So scheint mir die Aufgabe nicht gemeint zu sein. Wie auch immer, du weißt so viel wie ich, denn der Originaltext der Aufgabe wird zitiert. igel+- 19:22, 16. Okt. 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Zum Abschnitt: Korrektur der obigen Überlegungen

„Nachdem also Anton die Antwort des Wärters bekommen hat, besucht der Wärter Clemens. Clemens fragt den Wärter was dieser bei Anton gemacht habe. Der Wärter erzählt ihm die Geschichte. Worauf nun Clemens antwortet: Gott sei Dank habe ich nicht zuerst gefragt!“ Mit anderen Worten: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich, dass Anton begnadigt wurde? Nun, die beschriebene Geschichte lässt sich in der Frage formulieren: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Anton begnadigt wurde unter der Bedingung, dass Brigitte nicht begnadigt wurde?"

Meiner Meinung nach ist die Umformulierung falsch. Sie müsste lauten:

"Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Anton begnadigt wurde unter den Bedingungen, dass Brigitte nicht begnadigt wurde und dass Anton gefragt hat?" Das Paradoxe an der Geschichte ist, dass es zwei verschiedene Arten der Wahrscheinlichkeit gibt: 1. Wer gehängt wird und wer nicht, steht vorher fest. Nur das Wissen darüber steht nicht fest. Die Lösung ist analog zum Ziegenproblem, nur dass man keine Wahl hat. Wenn nicht berücksichtigt wird, wer fragt, dann scheidet auch der entsprechende Strang an Wahrscheinlichkeiten aus. --Hutschi 11:03, 6. Nov. 2006 (CET)

[Bearbeiten] Ist der Artikel nicht überflüssig?

Die Problemstellung wird bereits im Ziegenproblem ausführlichst diskutiert. Dort sind die Wahrscheinlichkeitsberechnungen auch und gerade deswegen relevant, weil der Kandidat aufgrund dieser Berechnungen sein Wahl ändern bzw. eine Strategie zur Gewinnoptimierung finden kann. Hier dagegen hat keiner der "Spieler" irgendeine Wahl und die Rechnung ist eigentlich für die Katz. Deswegen halte ich den Artikel Gefangenenparadoxon für überflüssig. Er bringt auch absolut nichts Neues und Interessantes bzgl. der Bayesformel. Wie wäre es mit Löschen? --89.51.63.240 17:29, 6. Dez. 2006 (CET)

Ich sehe hier schon einen wesentlichen Unterschied - und außerdem ist die Diskussion über das Gefangenenparadoxon beim Ziegenproblem nicht beendet worden (Gunther ist für 1 / 2, MichaelP für 2 / 3), gehört dort auch nicht hin. Nach meinem obigen Einwand wäre hier die Lösung auch 1 / 2, deshalb doch ein anderes Problem, eben weil, wie du richtig sagst, die Randbedingungen anders sind (die Gefangenen haben keine Wahl, brauchen/können deshalb auch keine unterschiedlichen Strategien anwenden). Also, Artikel drinlassen und korrigieren.--Vanda1 11:22, 14. Dez. 2006 (CET)

Ich habe mal auf der englischen Seite (Three Prisoner Problem) nachgeschaut: Hier steht noch die Ergänzung "if A could switch fates with C now", also wenn A nach der Antwort des Wächters noch wählen kann, ob er sein Schicksal mit C tauschen will oder nicht - dann ist das Problem identisch mit dem Ziegenproblem!--Vanda1 14:30, 14. Dez. 2006 (CET)

[Bearbeiten] Zusatz zu den Überlegungen

Also, jemand der sich damit auskennt: Was ist, wenn zwei Wächter wüssten, wer begnadigt wird und der eine wird dann von Anton und der andere von Clemes (aber beide unabhängig) befragt? Ehrlich gesagt ich habe irgendwie ein Problem damit, dass die Wahrscheinlichkeit, wer stirbt davon abhängen soll, wer zuerst fragt, das erscheint mir wirklich paradox und ich finde es auch nicht hilfreich, wenn einem dann Formeln um die Ohren geknallt werden (auch wenn ich prinzipiell formale Ansätze bevorzuge). Also wenn jemand da eine anschauliche Erklärung hinzufügen würde, wäre das Prima, wie gesagt, ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass das richtig sein soll ^^ --Axel Wagner 00:20, 14. Jul. 2007 (CEST)

[Bearbeiten] Formulierungsfehler

Das einzige Problem im Artikel ist m.E. die Formulierung im Absatz "Paradox": Die Überlebenschance von Clemens und Anton ist nach der Information des Wärters 1/2, die Überlebenswahrscheinlichkeit ist nach der Anwendung der Formel bei Anton immer noch 1/3, bei Clemens aber 2/3. Das ist doch, was hier eigentlich gezeigt werden sollte, daß die Formel bei der Anwendung auf dieses reale Problem ein Paradox erzeugt. Das wird aus dem Artikel aber nicht klar, so wie er jetzt formuliert ist. Warum werden hier Chance und Wahrscheinlichkeit synonym verwendet?--Sedmikrasky 09:52, 17. Jul. 2007 (CEST)