Bewertungstheorie

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Im mathematischen Teilgebiet der Bewertungstheorie geht es um Verallgemeinerungen der Frage, durch welche Potenz einer festen Primzahl eine natürliche Zahl teilbar ist.

Inhaltsverzeichnis

1 p-Bewertung
- 1.1 p-ganze und S-ganze Zahlen
2 Diskrete Bewertungen
- 2.1 Beispiele
- 2.2 Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe
3 Allgemeine Bewertungen
- 3.1 Bewertungen und Bewertungsringe

[Bearbeiten] p-Bewertung

Es sei $p$ eine Primzahl.

Die $p$ -Bewertung (auch: die $p$ -adische Bewertung oder der $p$ -Exponent) $v p (n)$ einer natürlichen oder ganzen Zahl $n$ ist die größte Zahl $k$ , so dass $n$ noch durch $p k$ teilbar ist. Die $p$ -Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Die $p$ -Bewertung einer natürlichen Zahl $n$ ist der Exponent der Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ . Ist

$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k},$

so ist

$v_{p_1}(n) = a_1,\quad v_{p_2}(n) = a_2,\quad\ldots,\quad v_{p_k}(n) = a_k.$

Tritt eine Primzahl $p$ nicht in der Primfaktorzerlegung von $n$ auf, dann ist $v p (n) = 0$ .

Man setzt $v_p(0) = \infty$ , weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die $p$ -Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die $p$ -Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der $p$ -Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl $r = \frac{m}{n}$ mit $m,n\in\mathbb Z$ ist also

v p (r) = v p (m) - v p (n).

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs $m / n$ auf, ist $v p (r)$ also eine negative Zahl.

Die $p$ -Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

$r\mapsto p^{-v_p(r)}$

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

[Bearbeiten] p-ganze und S-ganze Zahlen

Eine $p$ -ganze Zahl (auch " $p$ -adisch ganze Zahl" oder "für $p$ ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative $p$ -Bewertung hat, d.h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch $p$ teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht $p$ -ganz sind, werden manchmal auch " $p$ -gebrochen" genannt.

Die Menge aller $p$ -ganzen Zahlen ist ein Unterring von $\mathbb Q$ , der $\mathbb Z_{(p)}$ geschrieben wird. $\mathbb Z_{(p)}$ ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich $p$ .

Ist allgemeiner $S$ eine Menge von Primzahlen, so ist eine $S$ -ganze Zahl eine rationale Zahl, die $p$ -ganz für jedes $p\notin S$ ist (!), d.h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus $S$ teilbar ist. Die Menge der $S$ -ganzen Zahlen bildet einen Unterring $\mathbb Z_S$ von $\mathbb Q$ . Beispielsweise ist für $S=\varnothing$ also $\mathbb Z_S=\mathbb Z$ , für $S=\complement\{p\}$ ist $\mathbb Z_S=\mathbb Z_{(p)}.$

[Bearbeiten] Diskrete Bewertungen

Es sei $K$ ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

$v\colon K\to\mathbb Z\cup\{\infty\}$

eine diskrete Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

$v (a b) = v (a) + v (b)$
$v(a)=\infty\iff a=0$
$v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}$

für alle $a,b\in K$ . $K$ zusammen mit $v$ heißt diskret bewerteter Körper.

[Bearbeiten] Beispiele

die $p$ -Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl $p$
die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

[Bearbeiten] Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe

Die Teilmenge

$\{x\in K\mid v(x)\geq0\}$

bildet einen Unterring von $K$ , den Bewertungsring von $v$ . Er ist ein diskreter Bewertungsring, und ist umgekehrt $(A,\mathfrak m)$ ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

$v(x)=\sup\{k\in\mathbb Z\mid x\in\mathfrak m^k\}$

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von $A$ definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

[Bearbeiten] Allgemeine Bewertungen

Ist $G$ eine totalgeordnete abelsche Gruppe und $K$ ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

$v\colon K\to G\cup\{\infty\}$

eine Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

$v (a b) = v (a) + v (b)$
$v(a)=\infty\iff a=0$
$v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}$

für alle $a,b\in K$ .

$K$ heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe $v(K^\times)\subseteq G$ .

[Bearbeiten] Bewertungen und Bewertungsringe

Ein Integritätsbereich $A$ heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element

x

des Quotientenkörpers von

A

gilt $x\in A$ oder $x^{-1}\in A$ .

Ist $A$ ein Bewertungsring mit Quotientenkörper $K$ , so kann man eine Bewertung auf $K$ mit Wertegruppe $G=K^\times/A^\times$ definieren:

$v\colon K\to G\cup\{\infty\},\quad v(x)=\left\{\begin{matrix}\infty&x=0\\{}[x]&x\in K^\times;\end{matrix}\right.$

dabei bezeichnet $[x]$ das Bild von $x$ in $G=K^\times/A^\times$ ; die Ordnung auf $G$ ist definiert durch

$[x]\geq[y]\iff xy^{-1}\in A$ für $x,y\in K^\times.$

Ist umgekehrt $K$ ein bewerteter Körper mit Bewertung $v$ , so ist

$\{x\in K\mid v(x)\geq0\}$

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung $v$ genannt wird. Die Gruppe $K^\times/A^\times$ ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von $v$ .

Für einen Körper $K$ gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf $K$ und Bewertungsringen, die in $K$ enthalten sind.

Kategorien: Zahlentheorie | Kommutative Algebra

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