Kürzen
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Das Kürzen bedeutet in der Mathematik, aus einem Bruch gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner herauszuziehen. Das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl nennt man dagegen Erweitern. Beim Kürzen und Erweitern mit einer Zahl ungleich 0 bleibt der Wert des Bruches erhalten.
Sind a,b,c ganze Zahlen, b,c 
0, dann gilt
Liest man diese Gleichung von links nach rechts, dann wird der Bruch (ac) / (bc) mit c gekürzt, liest man sie von rechts nach links, dann wird der Bruch a / b mit c erweitert.
Zum Kürzen ist es hilfreich, Zähler und Nenner des Bruchs in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Gleiche Primfaktoren können dann einfach paarweise in Zähler und Nenner herausgestrichen werden. Es ist bei größeren Zahlen jedoch oft einfacher, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) mit dem euklidischen Algorithmus zu bestimmen, denn der ggT ist die größte Zahl, mit der man einen gegebenen Bruch kürzen kann.
Beispiele:
Die Beispiele zeigen, dass das Kürzen von Brüchen meist eine sehr sinnvolle Sache ist, weil sich dadurch erhebliche Vereinfachungen ergeben, was insbesondere das eventuelle Weiterrechnen mit den Brüchen deutlich erleichtert.
[Bearbeiten] Verallgemeinerung
Geht man von den rationalen Zahlen weg und betrachtet andere Strukturen, dann erkennt man, dass die Möglichkeit, Brüche zu kürzen, eine direkte Konsequenz der Art und Weise ist, wie Brüche definiert werden. Man kann somit z. B. in beliebigen Quotientenkörpern Brüche kürzen. Lokalisiert man einen Ring R mit einer multiplikativen Teilmenge S, dann kann man einen Bruch aus RS nur mit Elementen von S kürzen und erweitern.
[Bearbeiten] Algorithmus
Um einen Bruch zu kürzen muss man Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler teilen. Den größten gemeinsamen Teiler zweier positiver Zahlen findet man, indem man fortlaufend die größere der zwei Zahlen durch die kleinere teilt und den Divisionsrest betrachtet. Ist er gleich 0, so war die kleinere Zahl der gesuchte größte gemeinsame Teiler. Ansonsten ersetzt man die größere Zahl durch die kleinere und die kleinere Zahl durch den Divisionsrest und fährt mit dem Algorithmus fort.
