Rovnost (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Rovnost v matematice je relace neboli vztah, vyjadřující absolutní shodnost, totožnost objektů, které jsou v tomto vztahu. Každý objekt je roven pouze a jen sám sobě.

Žádné dva objekty si nemohou být rovny. Neboť jsou-li si rovny, pak již nejsou dva ale jeden.

[editovat] Symbol

Symbol rovnosti („=“; „rovnáse“) pochází od waleského matematika Roberta Recorda. Ve své knize The Whetstone of Witte z roku 1557 vysvětluje zavedení nového symbolu takto:

To avoid the tediouse repetition of these woordes: „is equalle to“: I will sette as I doe often in woorke use, a pair of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: =, bicause noe .2. thynges, can be moare equalle

(Abych se vyhnul únavnému opakování slov: „je rovno“: používám (místo nich), stejně jako to často dělám při (své) práci, dvojici rovnoběžek nebo dvě úsečky stejné délky, tedy: =, protože žádné dvě věci si nemohou být více rovny)

Symbol „=“ se však po dlouhou dobu nedočkal obecného uznání. Místo něj byly až do 18. století často užívány symboly || nebo æ či œ, pocházející z latinského slova aequalis znamenajícího „(je) rovno“.

[editovat] Rovnost v logice

V predikátové logice se rovnost zavádí jako binární relační symbol, který je v každé struktuře povinně realizován relací identity. Ze syntaktického hlediska je rovnost určena několika axiomy, které se nazývají axiomy rovnosti. Pro nejběžněji užívaný systém logických axiomů predikátové logiky - tzv. Hilbertovský predikátový kalkulus - a jeho nejrůznější varianty jsou axiomy rovnosti tři (přesněji jeden axiom a dvě axiomatická schémata), a to:

axiom reflexivity: $x = x$
schéma axiomu kongruence vzhledem k relacím: $x_{1}=y_{1}, ..., x_{n}=y_{n} \rightarrow (R(x_{1},...,x_{n}) \rightarrow R(y_{1},...,y_{n}))$ , kde n je přirozené číslo a R je n-ární relační symbol.
schéma axiomu kongruence vzhledem k funkcím: $x_{1}=y_{1}, ..., x_{n}=y_{n} \rightarrow F(x_{1},...,x_{n}) = F(y_{1},...,y_{n})$ , kde n je přirozené číslo a F je n-ární funkční symbol.

Zbylé dvě nejdůležitější vlastnosti rovnosti, které nejsou postulované - symetrii a tranzitivitu - lze snadno odvodit užitím prvních dvou axiomů a pravidla modus ponens.

[editovat] Rovnost množin a tříd

Dvě množiny (třídy) se rovnají právě tehdy, když mají stejné prvky. V případě tříd je to důsledkem konvence o užívání třídových termů resp. (meta)věty o jejich eliminaci. V případě množin je implikace zleva doprava důsledkem druhého axiomu rovnosti (na relaci R(a,b) definovanou jako a ∈ b), implikace zprava doleva se nazývá axiom extenzionality a je jedním z axiomů Zermelo-Fraenkelovy i Gödelovy-Bernaysovy teorie množin.