Paraboloid

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Paraboloid je těleso, jehož rovinnými řezy jsou dvě paraboly a elipsa nebo hyperbola.

Jako paraboloid bývá často označován pouze plášť uvedeného tělesa.

Obsah

1 Eliptický paraboloid
- 1.1 Algebraické vyjádření
2 Rotační paraboloid
- 2.1 Algebraické vyjádření
- 2.2 Vlastnosti
3 Hyperbolický paraboloid
- 3.1 Algebraické vyjádření
- 3.2 Vlastnosti
4 Související články

[editovat] Eliptický paraboloid

Eliptický paraboloid.

Eliptický paraboloid je těleso, jehož podstava má eliptický tvar.

[editovat] Algebraické vyjádření

Eliptický paraboloid s vrcholem v bodě $[x 0, y 0, z 0]$ a rovinami souměrnosti rovnoběžnými s rovinami $x = 0$ a $y = 0$ má rovnici

$z-z_0 = \frac{{(x-x_0)}^2}{2p} + \frac{{(y-y_0)}^2}{2q}$ ,

kde $p q > 0$ .

[editovat] Rotační paraboloid

Rotační paraboloid.

Rotační paraboloid je těleso ohraničené plochou, která vznikne rotací paraboly kolem její osy a kruhem, které tvoří podstavu tělesa.

[editovat] Algebraické vyjádření

Rotační paraboloid s vrcholem v bodě $[x 0, y 0, z 0]$ je speciálním případem eliptického paraboloidu, pro který platí $p = q$ , tzn pro rotační paraboloid s osou rotace rovnoběžnou s osou $z$ platí

$2p(z-z_0) = {(x-x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2$ .

[editovat] Vlastnosti

Objem rotačního paraboloidu je

$V = \frac{1}{2}\pi \rho^2 v$ ,

kde $ρ$ je poloměr kruhové podstavy a $v$ je výška paraboloidu.

[editovat] Hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid.

Kromě eliptického paraboloid existuje také paraboloid hyperbolický.

[editovat] Algebraické vyjádření

Hyperbolický paraboloid s vrcholem v bodě $[x 0, y 0, z 0]$ a rovinami souměrnosti rovnoběžnými s rovinami $x = 0$ a $y = 0$ má rovnici

$z-z_0 = \frac{{(x-x_0)}^2}{2p}-\frac{{(y-y_0)}^2}{2q}$ ,

kde $p q > 0$ .

[editovat] Vlastnosti

Na ploše hyperbolického paraboloidu existují dvě soustavy přímek, přičemž každá přímka jedné soustavy protíná každou přímku druhé soustavy, avšak libovolné dvě přímky jedné soustavy jsou mimoběžné. Pro paraboloid se středem v bodě $[0,0,0]$ lze obě soustavy rovnic přímek zapsat jako

$k_1\left(\frac{x}{\sqrt{2|p|}}+\frac{y}{\sqrt{2|q|}}\right) = \frac{p}{|p|}k_2z$