Naivní teorie množin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako naivní teorie množin je dnes označována původní teorie množin vytvořená Georgem Cantorem v druhé polovině 19. století.

Název naivní je používán pro zdůraznění protikladu mezi Cantorovým intuitivním pojetím pojmu množina a dnes používanými axiomatickými systémy teorie množin.

I přes použité slůvko naivní, které má v případě matematické teorie trochu hanlivý nádech, je Cantorova teorie naprosto dostačující jako množinový základ pro většinu ostatních matematických disciplín a bylo v ní dosaženo mnoha vynikajících výsledků v oblasti zkoumání vlastností nekonečných množin (Cantorova věta, Kardinální aritmetika, Transfinitní indukce) – což byla ostatně hlavní Cantorova motivace pro její vytvoření.

Problémy nastávají teprve ve chvíli, kdy se naivní teorie množin pokouší pracovat s „příliš velkými“ množinami, jako je potence univerzální množiny v případě Cantorova paradoxu – obdobné je to ostatně i v případě mnohem známějšího Russellova paradoxu.

Obsah

1 Co je množina
2 Rovnost a náležení
3 Vydělení na základě výroku a množinové operace
4 Související články

[editovat] Co je množina

Na otázku, co je to množina, odpovídá naivní teorie množin v podstatě obdobně jako paní učitelka v první třídě základní školy před tabulí plnou magnetických jablek a hrušek:

Množina je dobře definovaný soubor objektů.

Objektem obsaženým v množině může být v tomto pojetí cokoliv – čísla, lidé, jiné množiny atd. Důležité je, aby bylo „dobře definováno“ (nejlépe jazykem matematické logiky), které objekty do konkrétní množiny patří a které ne.

[editovat] Rovnost a náležení

Jediným faktem, který hraje roli při práci s množinou v rámci teorie množin, je to, které objekty do ní náležejí – relace náležení je obvykle značena $x \isin A \,\!$ – znamená „objekt x je prvkem (náleží do) množiny A“.

Pokud přijmeme jako jeden ze způsobů, jak dobře definovat množinu, možnost vyjmenovat všechny její prvky, pak můžeme jako $A = \{ 2,3,5,7 \} \,\!$ označit čtyřprvkovou množinu, která obsahuje čísla 2, 3, 5 a 7 (tj. $2 \isin A \,\!$ , ale $4 \notin A \,\!$ ).

Důležité je, že nemá smysl mluvit o tom, kolikrát nebo v jakém pořadí prvky do množiny patří – každý do ní prostě buď patří, nebo nepatří. Vrátíme-li se k $A = \{ 2,3,5,7 \} \,\!$ , můžeme napsat:

$A = \{ 3,5,7,2 \} = \{ 2,2,5,3,5,7,7,7,7 \} = \ldots \,\!$ ,

ale na druhou stranu

$A \neq \{ 2,3,4,5,7 \} \,\!$ , protože $4 \notin A \,\!$

Dostáváme se k tomu, co vlastně znamená rovnost dvou množin: Dvě množiny jsou si rovny (nebo také shodné), pokud obsahují stejné prvky, formálně zapsáno:

$A = B \Leftrightarrow ( \forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B) \,\!$

Tato definice rovnosti si našla cestu i do axiomatických teorií množin jako axiom extenzionality.

[editovat] Vydělení na základě výroku a množinové operace

Pokud je $V(x) \,\!$ jakýkoliv výrok s parametrem $x \,\!$ (například „x je sudé číslo“, „x má slabý magnet“, „x je kamarád kamaráda bývalého poslance PČR za ČSSD“) lze pomocí něj rozdělit všechny myslitelné objekty na dvě části – na množinu těch, které $V(x) \,\!$ splňují, kterou označíme $S = \{ x : V(x) \} \,\!$ , a na množinu těch, které jej nesplňují – mluvíme o doplňku množiny $S \,\!$ .

Možností vydělovat objekty pomocí výroku (opět se této možnosti nevzdaly ani axiomatické systémy – viz schéma axiomů vydělení) získáváme velice silný nástroj, pomocí kterého můžeme definovat všechny běžně známé množinové operace – průnik, sjednocení, doplněk kartézský součin, potenční množina.

V axiomatické teorii množin, kde je mnohem pečlivěji hlídáno, co je a co není množina, jsou k těmto účelům často zavedeny speciální axiomy, které tyto operace umožňují – viz například axiom sumy nebo axiom potence v článku Zermelo-Fraenkelova teorie množin.