Cantorův paradox

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cantorův paradox je poznatek publikovaný Georgem Cantorem roku 1899, který spolu s dalšími výsledky podobného typu (označovanými jako antinomie nebo paradoxy naivní teorie množin) vedl ke krizi klasické naivní teorie množin a jejímu následnému nahrazení axiomatickým systémem.

[editovat] Podstata paradoxu

Uvažujme o množině $\mathbb{V}\,\!$ všech množin. Podle Cantorovy věty má množina všech jejích podmnožin (její potenční množina) $\mathbb{P}(\mathbb{V})\,\!$ ) větší mohutnost, než samotná $\mathbb{V}\,\!$ . Existuje tedy množina, kterou nelze vzájemně jednoznačně zobrazit do množiny všech množin, a tedy ani na sebe samu - což je samozřejmě nesmysl.

[editovat] Řešení paradoxu

V době publikování nebyla Cantorovu paradoxu přikládána příliš velká váha s tím, že se odehrává na příliš velkých množinách (množina všech podmnožin množiny všech množin). Proto se také vžilo označení paradox, ačkoliv ve skutečnosti se jednalo o spor v klasické definici množiny jako „souboru objektů (prvků) vymezených pomocí operace náležení“.

Teprve později, společně s dalšími „paradoxy“, z nichž jako nejdůležitější se ukázal Russellův paradox, vedl tento výsledek ke kompletnímu přepracování základů teorie množin na axiomatickém základě - vizte Zermelo-Fraenkelova teorie množin.

V axiomatické teorii množin se mi již žádným způsobem nepodaří zkonstruovat výše uvedenou množinu $\mathbb{V}\,\!$ - soubor všech množin není množina, ale vlastní třída, a o její potenční množině tedy nemá ve světě teorie množin vůbec smysl mluvit.