Mnohostěn

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Mnohostěn je trojrozměrné geometrické těleso, jehož povrch se skládá z konečně mnoha stěn tvořených mnohoúhelníky. V moderním smyslu se pojem mnohostěn užívá nejen pro těleso trojrozměrné, ale obecně pro těleso n-rozměrné (speciálním případem n-rozměrného mnohostěnu je n-rozměrný simplex).

Obsah 1 Obecné vlastnosti 1.1 Eulerova věta 2 Význačné mnohostěny 2.1 Pravidelné mnohostěny 3 Duální mnohostěny 4 Vztah ke grafům 5 Související články

[editovat] Obecné vlastnosti

Mnohostěn má povrch skládající se z mnohoúhelníkových stěn, které se setkávají v úsečkami tvořených hranách. Body, ve kterých se setkávají (nejméně 3) hrany, se nazývají vrcholy. Část prostoru ohraničená stěnami se nazývá vnitřek mnohostěnu a bývá obvykle považována za jeho součást.

Mnohostěny jsou označovány podle počtu stěn (4 a více). Máme tak např. čtyřstěn (tetraedr), pětistěn (pentaedr), šestistěn (hexaedr), sedmistěn (heptaedr), osmistěn (oktaedr), dvanáctistěn (dodekaedr), dvacetistěn (ikosaedr) atd. Pro některé důležité mnohostěny existuje také samostatné označení, např. jehlan, krychle apod.

[editovat] Eulerova věta

Vztah mezi počtem vrcholů (v), hran (h) a stěn (s) konvexního mnohostěnu udává tzv. Eulerova věta

v − h + s = 2.

[editovat] Význačné mnohostěny

Za význačné jsou považovány takové mnohostěny, které vynikají nad ostatní buď jistým druhem dokonalosti (například pravidelností) nebo svým historickým významem. Takovéto mnohostěny mají obvykle vlastní jména.

• Jehlany - mnohostěny tvořené jednou mnohoúhelníkovou stěnou (podstavou), význačným vrcholem (vrchol jehlanu) ležícím mimo podstavu a trojúhelníkovými stěnami tvořenými vždy hranou podstavy a dvěma úsečkami spojujícími koncové body této hrany s význačným vrcholem ležícím mimo podstavu (vrcholem jehlanu)
• Hranoly - mnohostěny tvořené dvěma shodnými, stejně orientovanými a v různých vzájemně rovnoběžných rovinách ležícími mnohoúhelníkovými stěnami (podstavami) a obdélníkovými stěnami tvořenými dvěma odpovídajícími si hranami na obou podstavách a úsečkami, spojujícími jejich koncové body

[editovat] Pravidelné mnohostěny

Jestliže z každého vrcholu mnohostěnu vychází stejný počet hran a každá stěna je ohraničena stejným počtem hran, pak se mnohostěn označuje jako kombinatoricky pravidelný. Jsou-li navíc všechny stěny pravidelné mnohoúhelníky, pak říkáme, že mnohostěn je (metricky) pravidelný.

Pravidelný mnohostěn je tedy takový mnohostěn, jehož všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky.

Existuje přesně pět pravidelných konvexních mnohostěnů. Všechny jsou známy již z antiky a souhrnně se nazývají Platónská tělesa.

• čtyřstěn - stěny tvořené rovnostrannými trojúhelníky
• šestistěn (krychle) - stěny tvořené čtverci
• osmistěn - stěny tvořené rovnostrannými trojúhelníky
• dvanáctistěn - stěny tvořené pravidelnými pětiúhelníky
• dvacetistěn - stěny tvořené rovnostrannými trojúhelníky

Existují přesně čtyři pravidelné nekonvexní mnohostěny. Souhrnně se nazývají Kepler-Poinsotova tělesa. Oproti klasické definici mnohostěnu neleží celá plocha každé stěny těchto těles na jejich povrchu, ale je „zanořena“ dovnitř. Pokud by se považovaly za stěny pouze viditelné části, nebyly by již tyto mnohostěny pravidelné.

• malý hvězdicovitý dvanáctistěn
• velký hvězdicovitý dvanáctistěn
• velký dvanáctistěn
• velký dvacetistěn

[editovat] Duální mnohostěny

Ke každému mnohostěnu existuje mnohostěn duální. Ten vznikne umístěním vrcholů do „středů“ stěn původního mnohostěnu a jejich spojením hranami tak, že vrcholy ležící v sousedních stěnách původního mnohostěnu jsou v jeho duálu spojeny hranou.

[editovat] Vztah ke grafům

Každý mnohostěn se vztahuje k právě jednomu grafu, jehož vrcholy a hrany odpovídají vrcholům a hranám mnohostěnu. Díky tomu je možné používat teorii grafů pro zkoumání mnohostěnů.

[editovat] Související články

Související články obsahuje Portál Matematika

• Mnohoúhelník