Kofinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

Obsah

1 Definice
2 Vlastnosti
3 Související články

[editovat] Definice

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy $\alpha,\, \beta$ budou označovat libovolná ordinální čísla a $\gamma,\, \delta$ budou označovat vždy limitní ordinály.

[editovat] Kofinální podmnožina

Řekneme, že množina $A \subseteq \gamma$ je kofinální podmnožinou $γ$ , existuje-li pro každé $\alpha\, <\, \gamma$ takové $\beta \in A$ , že $\alpha\, \leq\, \beta$ . Říkáme také, že A je kofinální s $γ$ .

Například

množina $A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}$ je kofinální podmnožina ordinálu $\omega \,+\, \omega$ .
množina $A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}$ je kofinální podmnožina ordinálu $\delta \cdot \delta$ .
množina $A=\{\alef_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}$ je kofinální podmnožina ordinálu $\alef_{\gamma}$ pro každé $\gamma\,>\,\omega$ .

[editovat] Kofinál a kofinalita

Kofinálem limitního ordinálu $γ$ rozumíme nejmenší ordinál $α$ takový, že existuje množina $A \subseteq \gamma$ kofinální s $γ$ , jejímž ordinálním typem je $α$ (tj. A je $\in$ -izomorfní s $α$ ). Kofinál limitního ordinálu $γ$ se značí $\, cf(\gamma)$ .

Kofinalitou $γ$ rozumíme mohutnost (kardinalitu) $\, cf(\gamma)$ . Lze ukázat, že pro každé $γ$ je $\, cf(\gamma)$ kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

$cf(\omega + \omega) \, = \, \omega$
$cf(\delta \cdot \delta) = \delta$
$cf(\alef_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)$ pro každé $\gamma\,>\,\omega$

[editovat] Regulární a singulární ordinál

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

[editovat] Vlastnosti

Pro každý limitní ordinál $γ$ platí $\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma$
Pro každý limitní ordinál $γ$ platí $cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)$ .
Pro všechna $γ$ je $\, cf(\gamma)$ kardinální číslo.