Hamiltonovská formulace mechaniky
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Hamiltonovská formulace mechaniky (někdy též hamiltonovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že je možné zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který je v mnoha případech výhodnější. Hamiltonovská formulace mechaniky je obecnější než lagrangeovská, ze které původně vycházela.
Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a objevil ji v roce 1833 William Rowan Hamilton. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve statistické fyzice, ale především při přechodu ke kvantové mechanice.
Obsah |
[editovat] Formulace
V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti, přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné proměnné ve fázovém prostoru. Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných transformací přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové souřadnice se označují jako kanonické a je při nich požadováno, aby si Hamiltonovy rovnice zachovávaly svůj tvar. Invariantem kanonických transformací je tzv. Poissonova závorka. Pohyb mechanických systémů lze pak chápat jako kanonickou transformaci.
[editovat] Hamiltonovy rovnice
Diferenciací Hamiltonovy funkce dostaneme
-
- ,
kde L je Lagrangeova funkce, qi jsou zobecněné souřadnice a pi jsou zobecněné hybnosti. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy
Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s n stupni volnosti soustavu 2n diferenciálních rovnic prvního řádu pro 2n neznámých funkcí času qi(t),pi(t),i = 1,2,...,n. Tyto rovnice jsou nižšího řádu než Lagrangeovy rovnice a jejich pravé strany nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi daného systému.
[editovat] Příklad
Příkladem Hamiltonových rovnic mohou být rovnice pro jednorozměrný pohyb volného hmotného bodu, které mají tvar
[editovat] Související články
- Teoretická mechanika
- Hamiltonova funkce
- Newtonova mechanika
- Lagrangeovská formulace mechaniky
- Hamiltonova-Jacobiho rovnice