Volná částice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako volná částice se ve fyzice označuje taková částice, na kterou nepůsobí žádné vazby. V klasické fyzice to znamená, že na částici nepůsobí žádné síly.

Obsah

1 Volná částice v klasické fyzice
2 Volná částice v nerelativistické kvantové teorii
3 Relativistická volná částice
4 Související články

[editovat] Volná částice v klasické fyzice

V klasické fyzice je volná částice charakterizována konstantní rychlostí. Hybnost volné částice se také nemění a je určena jako

$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$

Energii volné částice lze vyjádřit jako

$E=\frac{1}{2}mv^2$ ,

kde $m$ je hmotnost částice a $\mathbf{v}$ je vektor její rychlosti.

[editovat] Volná částice v nerelativistické kvantové teorii

V nerelativistické kvantové mechanice lze volnou částici popsat Scherödingerovou rovnicí ve tvaru

$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \psi(\mathbf{r}, t) = \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi (\mathbf{r}, t)$

Řešení této rovnice pro určitou hybnost má tvar rovinné vlny

$\psi(\mathbf{r}, t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}$

s podmínkou

$\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega$ ,

kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor, $t$ je čas, $\mathbf{k}$ je vlnový vektor a $ω$ je úhlová rychlost.

Částici, která je popsána uvedenou vlnovou funkcí, nelze v důsledku relací neurčitosti lokalizovat. Při přesně dané hodnotě hybnosti se totiž částice může nacházet v libovolném bodě prostoru se stejnou pravděpodobností. Vzhledem k tomu, že pravděpodobnost nalezení částice v celém (nekonečném) prostoru musí být rovna jedné, tzn. $\int \psi^\star\psi\mathrm{d}V = 1$ , je pro konkrétní hodnotu hybnosti problém normalizovat vlnovou funkci.

Pro střední hodnotu hybnosti v uvedeném případě platí

$\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \psi |-\mathrm{i}\hbar\nabla|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}$

Střední hodnota energie je pak udána jako

$\langle E\rangle=\langle \psi |\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega$

Dosazením z předchozích vztahů do omezující podmínky lze získat vztah mezi energií a hybností pro nerelativistickou hmotnou částici, tzn.

$\langle E \rangle =\frac{\langle p \rangle^2}{2m}$ ,

kde $p=|\mathbf{p}|$ .

Grupová rychlost vlny je

$\left.\right.v_g= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} = v$ ,

kde $v$ je klasická rychlost částice.

Fázová rychlost vlny je určena jako

$\left.\right.v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2}$

V obecném případě nemusí mít volná částice určitou hybnost nebo energii. V takovém případě lze vlnovou funkci volné částice vyjádřit jako superpozici vlastních funkcí hybnosti volné částice, tedy

$\left.\right. \psi(\mathbf{r}, t) = \int A(\mathbf{k})\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} \mathrm{d}\mathbf{k}$ ,

kde integrace probíhá přes všechna $\mathbf{k}$ .

V obecném případě není hybnost částice určena jednou hodnotou, takže částici je možné lokalizovat (viz vlnový balík).

[editovat] Relativistická volná částice

Kvantová teorie umožňuje popsat také relativistické volné částice, přičemž používá k jejich popisu různé rovnice (podle druhu částice), např.

Kleinova-Gordonova rovnice - popisuje volné částice bez spinu a elektrického náboje
Diracova rovnice - popisuje volnou částici se spinem $\frac{1}{2}$ a elektrickým nábojem (tedy elektron)