مکانیک همیلتونی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

مکانیک همیلتونی یا مکانیک هامیلتونی فورمول‌بندی دوباره و نمایش جدیدی‌ست از مکانیک کلاسیک. مکانیک همیلتونی در سال ۱۸۳۳ (م) توسّط ویلیام همیلتون و در‌پی پیدایش مکانیک لاگرانژی به‌وجود آمد، که خود آن فورمول‌بندی مجدّد ولی قدیمی‌تری‌ست از مکانیک قدیم. انگیزه‌ها و علل علمی اینگونه نمایش‌های پیاپی دانش فیزیک و مکانیک در قرون 18 و 19 میلادی را باید در تاریخ و فلسفۀ علوم و به‌ویژه، در چگونگی آماد‌ه‌شدن زمینه‌ها برای تولّد مکانیک کوانتومی در اواخر سدۀ نوزدهم جستجو نمود.

این صورت تازه‌تر از مکانیک کلاسیک، امکان آن را به‌دست می‌دهد که (همانند حالت مکانیک لاگرانژی) بتوانیم معادله حرکت ذرّات را بدون اعتنا به نیروهای وارده بر‌آنها و هندسۀ پیچیدۀ سیستم حاکم بر بعضی از آنها به‌دست آوریم. (مقایسه شود با مکانیک نیوتونی)

برای رسیدن به این فرمول‌بندی از طریق مکانیک لاگرانژی ما از تعریف «اندازه حرکت (مومنتوم) مزدوج» (conjugate momentum) استفاده می‌کنیم، که به صورت زیر است:

$p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}$ .

در اینجا $L$ تابع لاگرانژی نام دارد. و $\dot{q}_j$ «سرعت تعمیم یافته» (generalized volocity) است. به همین خاطر و به این ترتیب ما می‌توانیم «تابع همیلتونی» ( $H\left(q_ip_i,t\right)$ ) را توسط یک تبدیل لژاندر به وجود بیاوریم.

$H\left(\left\{q_i\right\},\left\{p_i\right\},t\right) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L\left(q_i,\dot{q}_i,t\right)$

معادله‌های حرکتی همیلتونی که معادل با معادله لاگرانژی به عبارتی معادله حرکتی نیوتونی ( $\vec F=m\vec a$ ) هستند، از این رو به صورت زیر نوشته می‌شود:

${\dot{q}}_j = { \partial H \over \partial p_j }$

${\dot{p}}_j = -{\partial H \over \partial q_j}$

فرمولبندی همیلتونی، راهی است برای گذر از فیزیک کلاسیک و فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتومی که توسط هایزنبرگ انجام شد.

به طور خلاصه برای گذار از مکانیک کلاسیک به مکانیک کوانتومی کافی‌است که براکت پواسُن را تبدیل به عمل گر جابجایی هایزنبرگ بکنیم. ساده‌ترین راه برای درک این موضوع از طریق معادلات همیلتون-ژاکوبی است.