Evoluta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Evoluta je křivka, která je tvořena středy křivosti bodů dané křivky.

Evolventa kružnice.

Opakem je evolventa, která je tvořena množinou bodů, kterými prochází bod přímky, která se valí po základní nehybné křivce (evolutě).

Obsah

1 Ortogonální trajektorie
2 Vztah mezi evolutou a evolventou
3 Vlastnosti
4 Související články
5 Externí odkazy

[editovat] Ortogonální trajektorie

Protíná-li nějaká křivka všechny křivky dané soustavy křivek podle určitého zákona (pravidla), pak o této křivce říkáme, že je trajektorií dané soustavy křivek.

Izogonální trajektorie protíná všechny křivky dané soustavy pod stejným úhlem.

Ortogonální trajektorie soustavy křivek protíná všechny křivky této soustavy pod pravým úhlem. Ortogonální trajektorie je kolmá na tečny vybrané křivky ze soustavy křivek.

[editovat] Vztah mezi evolutou a evolventou

Vztah mezi evolutou a evolventou.

Ortogonální trajektorie $\overline{k}$ tečen křivky $k$ se nazývá evolventou křivky $k$ . Křivka $k$ je pak evolutou křivky $\overline{k}$ .

[editovat] Vlastnosti

Při kotálení tečny křivky (evoluty) po této křivce opisuje každý bod tečny evolventu původní křivky.

Je-li křivka (evoluta) $k$ určena rovnicí $\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)$ , pak je její evolventa $\overline{k}$ dána rovnicí

$\overline{\mathbf{r}} = \mathbf{r}(s) - (s+c)\mathbf{t}$ ,

kde $c$ je libovolná konstanta a $\mathbf{t}$ je tečný vektor křivky $k$ .

Je-li křivka (evolventa) $\overline{k}$ určena rovnicí $\overline{\mathbf{r}} = \overline{\mathbf{r}}(s)$ , pak je její evoluta k dána rovnicí

$\mathbf{r} = \overline{\mathbf{r}}(s) + \overline{r}_1\left[\overline{\mathbf{n}} + \overline{\mathbf{b}}\, \operatorname{cotg}\left(\int k_2 \mathrm{d}s + c\right)\right]$ ,

kde $c$ je libovolná konstanta, $\overline{\mathbf{n}}$ je vektor hlavní normály, $\overline{\mathbf{b}}$ je vektor binormály a $\overline{r}_1$ je poloměr křivosti křivky $\overline{k}$ .

Každá křivka má nekonečně mnoho evolvent, které tvoří jednoparametrickou soustavu křivek $\overline{\mathbf{r}} = \mathbf{r}(s) - (s+c)\mathbf{t}$ s parametrem $c$ , a evolut, které tvoří jednoparametrickou soustavu křivek $\mathbf{r} = \overline{\mathbf{r}}(s) + \overline{r}_1\left[\overline{\mathbf{n}} + \overline{\mathbf{b}}\, \operatorname{cotg}\left(\int k_2 \mathrm{d}s + c\right)\right]$ s parametrem $c$ .

Evoluta rovinné křivky je její spádovou křivkou. Rovinná evoluta rovinné křivky je obalovou křivkou normál této křivky.