Ehrenfestovy teorémy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right] \right\rangle + \left\langle \frac{\part\hat{A}}{\part t}\right\rangle$ ,

kde $\hat{A}$ je nějaký kvantově-mechanický operátor a $\langle \hat{A}\rangle$ je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi. Ehrenfestovy teorémy jsou součástí Heisenbergovy reprezentace kvantové mechaniky.

Ehrenfetovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

[editovat] Odvození

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu $Φ$ . Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru $\hat{A}$ platí

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int \Phi^\star \hat{A} \Phi ~\mathrm{d}x^3 = \int \left( \frac{\part \Phi^\star}{\part t} \right) \hat{A}\Phi ~\mathrm{d}x^3 + \int \Phi^\star \left( \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right) \Phi ~\mathrm{d}x^3 +\int \Phi^\star \hat{A} \left( \frac{\part \Phi}{\part t} \right) ~\mathrm{d}x^3 =$

$= \int \left( \frac{\part \Phi^\star}{\part t} \right) \hat{A}\Phi ~\mathrm{d}x^3 + \left\langle \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right\rangle + \int \Phi^\star \hat{A} \left( \frac{\part \Phi}{\part t} \right) ~\mathrm{d}x^3$ ,

přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor $\hat{A}$ časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen $\left\langle \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right\rangle$ .

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

$\frac{\part \Phi}{\part t} = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\hat{H}\Phi$

a také

$\frac{\part \Phi^\star}{\part t} = \frac{-1}{\mathrm{i}\hbar}\Phi^\star\hat{H}^\star = \frac{-1}{\mathrm{i}\hbar}\Phi^\star \hat{H}$

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit $\hat{H}=\hat{H}^\star$ . Dosazením do předchozí rovnice dostaneme

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int \Phi^\star (\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}) \Phi ~\mathrm{d}x^3 + \left\langle \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle \frac{\part \hat{A}}{\part t}\right\rangle$

[editovat] Příklad

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako

$\hat{H}(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t)$ ,

kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{p},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle \frac{\part \hat{p}}{\part t}\right\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\langle \left[\hat{p},V(x,t)\right]\rangle$ ,

kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako $\hat{p} = -\mathrm{i}\hbar\nabla$ , z čehož plyne $\frac{\part \hat{p}}{\part t} = 0$ . Tedy

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \int \Phi^\star V(x,t)\nabla\Phi ~\mathrm{d}x^3 - \int \Phi^\star \nabla (V(x,t)\Phi) ~\mathrm{d}x^3$

Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle \hat{F} \rangle$ .

Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor $\hat{F}$ lze pak chápat jako operátor síly.

Jedná se o příklad principu korespondence.

Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\langle\hat{x}\right\rangle = \left\langle\frac{\mathrm{d}\hat{x}}{\mathrm{d}t}\right\rangle = \frac{\left\langle\hat{p}\right\rangle}{m}$ ,