Twierdzenie Ehrenfesta

Z Wikipedii

Twierdzenie Ehrenfesta – podaje w jaki sposób zmieniają się w czasie wartości oczekiwane operatora położenia i pędu cząstki w mechanice kwantowej. Okazuje się, że zmiany te zachodzą w sposób analogiczny do mechaniki klasycznej.

Twierdzenie to zostało sformułowane i udowodnione przez Paula Ehrenfesta.

[edytuj] Dowód

Wyznaczamy szybkość zmian w czasie wartości oczekiwanej operatora położenia i pędu cząstki, w dowolnym stanie kwantowym $\vert \psi (t) \rangle$ .

Pracujemy w obrazie Schrödingera, więc skorzystamy z równania na szybkość zmian wartości oczekiwanej operatora.

$\frac{d}{dt}\langle \Omega \rangle = \langle \alpha_{s}(t) \vert \frac{\partial}{\partial t} \Omega \vert \beta_{s}(t) \rangle + \frac{1}{i \hbar} \langle \alpha_{s}(t) \vert \left[ \Omega, \mathcal{H} \right] \vert \beta_{s}(t) \rangle$

$\frac{d}{dt}\langle \Omega \rangle = \langle \psi \vert \frac{\partial}{\partial t} \Omega \vert \psi \rangle + \frac{1}{i \hbar} \langle \psi \vert \left[ \Omega, \mathcal{H} \right] \vert \psi \rangle$

Jeżeli operator $\Omega \qquad$ nie zależy jawnie od czasu, to

$\frac{d}{dt}\langle \Omega \rangle = \frac{1}{i \hbar} \langle \psi \vert \left[ \Omega, \mathcal{H} \right] \vert \psi \rangle$

$\Omega = \overrightarrow{p}_{op} = -i \hbar \nabla, \ \ \ \mathcal{H} = -\frac{\hbar^{2}}{2 m}\nabla^{2} + U(\overrightarrow{r})$

$\frac{d}{dt}\langle \overrightarrow{p}_{op} \rangle = \langle \psi \vert \left[\overrightarrow{p}_{op}, \mathcal{H}\right] \vert \psi \rangle$

$\left[\Omega, \mathcal{H}\right]=\left[\overrightarrow{p}_{op}, \mathcal{H}\right]=\left[-i \hbar \nabla,-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\nabla^{2} + U(\overrightarrow{r}) \right] =\left[ -i\hbar \nabla,-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\nabla^{2} \right] + \left[ -i\hbar \nabla, U(\overrightarrow{r}) \right]$

$\left[ -i\hbar \nabla,-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\nabla^{2} \right]=0$

$\left[ -i\hbar \nabla, U(\overrightarrow{r}) \right]f(\overrightarrow{r})= -i \hbar\nabla U f - U(-i\hbar\nabla f)=-i \hbar f \nabla U - i\hbar U \nabla f + i\hbar U \nabla f = (-i \hbar \nabla U) f$

$\left[ -i\hbar \nabla, U(\overrightarrow{r}) \right] =-i \hbar \nabla U(\overrightarrow{r})$

$\frac{d}{dt}\langle \overrightarrow{p}_{op} \rangle = \frac{1}{i \hbar} \langle \psi \vert -i \hbar \nabla U(\overrightarrow{r}) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert -\nabla U(\overrightarrow{r}) \vert \psi \rangle$

Operator położenia

$\Omega = \overrightarrow{r}_{op}$

$\frac{d}{dt}\langle \overrightarrow{r}_{op} \rangle = \frac{1}{i\hbar} \langle \psi \vert \left[\overrightarrow{r}_{op}, \mathcal{H}\right] \vert \psi \rangle$

$\left[\overrightarrow{r}_{op}, \mathcal{H}\right] = \left[\overrightarrow{r}_{op}, -\frac{\hbar^{2}}{2 m}\nabla^{2} + U(\overrightarrow{r})\right] =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left[\overrightarrow{r}_{op}, \nabla^{2}\right] +\underbrace{\left[\overrightarrow{r}_{op},U(\overrightarrow{r})\right]}_{=0}$

$\left[\overrightarrow{r}_{op}, \nabla^{2}\right] = \left[ x_{1} \overrightarrow{e_{1}} + x_{2} \overrightarrow{e_{2}} +x_{3} \overrightarrow{e_{3}}, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}\right] = -2\nabla$

$\left[ x, \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \right]f(x) = \left( x\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} x \right)f(x)=\ldots=-2\frac{\partial}{\partial x}f$

$\left[\overrightarrow{r}_{op}, \mathcal{H}\right]= \frac{\hbar^{2}}{m}\nabla$

$\frac{d}{dt}\langle \overrightarrow{r}_{op} \rangle =\frac{1}{i\hbar} \langle \psi \vert \frac{\hbar^{2}}{m}\nabla \vert \psi \rangle =\langle \psi \vert \frac{\overrightarrow{p_{op}}}{m} \vert \psi \rangle$

Reasumując:

$\frac{d}{dt}\langle \overrightarrow{r}_{op} \rangle = \langle \frac{\overrightarrow{p_{op}}}{m}\rangle$

$\frac{d}{dt}\langle \overrightarrow{p}_{op} \rangle = \langle -\nabla U\rangle$

Dwa ostatnie wzory stanowią treść twierdzenia Ehrenfesta. Wartości oczekiwane obliczamy bądź dla odpowiednio dużego zespołu cząstek bądź odpowiednio długich czasów.

$\Delta S = E\Delta t >> \hbar$

Twierdzenie Ehrenfesta jest liczbową ilustracją zasady korespondencji Bohra (dla $\Delta S >> \hbar$ układ kwantowy podlega równaniom ruchu mechaniki klasycznej).

Twierdzenie Ehrenfesta pokazuje w jaki sposób z praw mechaniki kwantowej otrzymać prawa mechaniki klasycznej.

Najlepszym przykładem poprawności twierdzenia Ehrenfesta jest Paczka Trojańska, kiedy trajektoria wartości oczekiwanej operatorów pędu i położenia w przestrzeni fazowej jest kołem, a zlokalizowany gaussowski pakiet falowy również porusza sie po okręgu.

[edytuj] Uogólnione twierdzenie Ehrenfesta

W mechanice kwantowej funkcjonuje też uogólnione twierdzenie Ehrenfesta, łączące szybkość zmian w czasie wartości oczekiwanej dowolnego operatora z komutatorem hamiltonianu układu. Głosi ono, że

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$

gdzie $A \qquad$ jest pewnym operatorem kwantowomechanicznym, a $\langle A\rangle$ jego wartością oczekiwaną. Uogólnione twierdzenie Ehrenfesta powiązane jest z twierdzeniem Liouville'a.