Dobře uspořádaná množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se pojmem dobře uspořádaná množina označuje uspořádaná množina S, jestliže každá neprázdná podmnožina S má nejmenší prvek vzhledem k uspořádání na S. Uspořádání na množině S se pak nazývá dobré uspořádání.

E.Zermelo dokázal, že při přijmutí axiomu výběru do Zermelo-Fraenkelovy axiomatizace teorie množin je možno dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tento princip je znám jako princip dobrého uspořádání.

S dobrým uspořádáním souvisí i paradoxy typu „Sorités“ (některé objekty nelze v rámci klasických teorií množin modelovat, např. hromada písku, ze které je-li odebráno 1 zrno zbyde opět hromada písku (může taková hromada obsahovat 1 zrno, 2 zrna, 3 zrna…)), tyto paradoxy jsou vyřešeny ve Vopěnkově alternativní teorii množin zavedením tzv. polomnožin.

[editovat] Příklady

Přirozená čísla s uspořádáním menší nebo rovno jsou dobře uspořádaná.
Celá čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například množina všech záporných čísel nemá nejmenší prvek.
Reálná čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například interval (0,1) nemá nejmenší prvek.

Ačkoli celá čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, lze na nich vytvořit dobré uspořádání. Například následující relace je dobré uspořádání: x <_z y, právě když |x| < |y| nebo (|x| = |y| a x ≤ y). Uspořádání pak vypadá následovně

0  -1  1  -2  2  -3  3  -4  4  ...

Přijmeme-li axiom výběru a tedy Zornovo lemma, s nímž je ekvivalentní, víme, že i reálná čísla lze dobře uspořádat. Návod ovšem nemáme. Tento axiom, jak se vyjádřil Russel, je nejprve skoro samozřejmý, poté problematický a nakonec dojdeme k závěru, že nevíme, o čem je vlastně řeč.

Pokud je množina dobře uspořádaná, lze v ní použít důkazy pomocí transfinitní indukce.