Dirichletův princip
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Dirichletův princip (někdy také označovaný jako zásuvkový princip) je matematické tvrzení tematicky patřící do oboru teorie množin, případně nekonečné kombinatoriky.
Obsah |
[editovat] Formulace principu
Dirichletův princip tvrdí, že pokud nekonečná množina vznikla jako sjednocení konečně mnoha množin, pak alespoň jedna z nich byla nekonečná.
Obdobný princip lze vyslovit i pro nespočetné množiny:
Pokud nespočetná množina vznikla jako sjednocení konečně mnoha množin, pak alespoň jedna z nich byla nespočetná.
Uveďme ještě třetí zajímavý princip podobného typu:
Pokud rozložíme množinu všech racionálních čísel na konečně mnoho částí, pak alespoň jedna z těchto částí obsahuje podmnožinu izomorfní s celou množinou racionálních čísel.
Při snaze o zobecňování Dirichletova principu především směrem k nekonečným systémům nekonečných množin se lze setkat hned se dvěma problémy: buď se nelze obejít bez axiomu výběru, nebo se zobecnění v některých případech provést vůbec nedá - viz následující kapitola.
[editovat] Možné problémy
[editovat] Nelze se obejít bez axiomu výběru
Následující verze Dirichletova principu je dokazatelná pouze připustíme-li axiom výběru. Tuto verzi lze vyjádřit třemi ekvivalentními způsoby:
- Je-li sjednocení spočetně mnoha množin nespočetné, pak alespoň jedna z těchto množin je nespočetná.
- Je-li sjednocení souboru spočetných množin nespočetné, pak tento soubor je nespočetný.
- Sjednocení spočetně mnoha spočetných množin je spočetné.
Nedokazatelnost tohoto tvrzení v ZF lze ověřit užitím Fraenkel-Mostowského permutačních modelů.
[editovat] Zobecnění nelze provést vůbec
Velice oblíbená je úvaha typu:
Nekonečnou množinu X nikdy nemůžu získat jako sjednocení méně než |X| množin, z nichž každá má mohutnost menší než |X|.
Hodně se to podobá Dirichletovu principu v jeho nejjednodušší verzi… jenže to bohužel není pravda.
Uvažujme o kardinálním číslu 
.
Takové číslo lze poskládat jako sjednocení spočetně mnoha (tedy méně než ) disjunktních množin: 
, z nichž každá má mohutnost menší než .
Stačí definovat konečnou rekurzí:
Množiny, které takto „porušují“ možné zobecnění tohoto principu, se nazývají singulární kardinály.
[editovat] Použití principu
Nejužitečnější je i přes svou jednoduchost základní verze Dirichletova principu. V důkazu mnoha vět z matematické analýzy narazíme na formulace typu „až na konečný počet hodnot“, v jejichž pozadí obvykle stojí nějaká forma Dirichletova principu, často vnímaného jako něco samozřejmého, čím se pořádná matematika nechce a nemusí zabývat.
