Mètode rectangular

De Viquipèdia

En càlcul integral, el mètode rectangular utilitza una aproximació a una integral definida, a base de calcular l'àrea d'una sèrie de rectangles. En càlcul numèric, aquest mètode, en general ha estat superat per altres mètodes més sofisticats de integració numèrica.

Ja sia la cantonada esquerra o la dreta o el centre de la cara superior del rectangle, pertanyen al gràfic de la funció, la base se situa al damunt de l'eix x. La aproximació es calcula sumant les àrees (base multiplicada pe l'alçada, un valor de la funció) dels n dels rectangles que omplen l'espai entre els dos valors de x entre els que es vol calcular la integral indefinida.

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(a+i'\Delta x)\Delta x \quad \mbox{ on } \Delta x = \frac{b-a}{n} \;,\; i' = \begin{cases} i-1 & \mbox{punt esquerra.}\\ i-\frac{1}{2} & \mbox{punt central.}\\ i & \mbox{punt dret.} \end{cases}$

La necessitat de $a + i'Δ x$ sorgeix quan a és diferent de zero, donat que la posició del primer rectangle no està a $f (i'Δ x)$ sinó a $f (a + i'Δ x)$ . A mesura que n es fa gran, la aproximació es fa mes exacta. De fet, el límit de la aproximació quan n tendeix a infinit és exactament igual a la integral definida.

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(a+i'\Delta x)\Delta x$

Això és cert independentment de quin i' es faci servir. Però la aproximació del punt mig tendeix a ser més exacte per a valors finits de n.

Aproximació emprant el cantó dret

Aproximació emprant el punt mig

Aproximació emprant el cantó esquerra

[edita] Error

L'error d'aproximació quant es fa servir el valor del punt mig disminueix en proporció del cub de l'amplada del rectangle:

$\int_a^{a+h} f(x)\,dx = hf(a + h/2) + \frac{h^3}{24}f''(\xi)$

Per algun $\xi \in (a, a+h)$ .

[edita] Vegeu també

Mètode del punt mig per resoldre equacions diferencials ordinàries
Mètode trapezial
Mètode de Simpson

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa