Integració per sèries

De Viquipèdia

En càlcul de primitives la integració per sèries és un mètode emprat per trobar un desenvolupament en sèrie de la funció primitiva d'una funció donada. De vegades el mètode és interessant encara que la funció primitiva es pugui calcular emprant les tècniques habituals perquè permet obtenir identitats matemàtiques interessants.

En el cas de integrals no elementals la integració per sèries, si és factible, permet obtenir una definició de la funció primitiva i una forma de calcular-la.

Taula de continguts

1 Definició
2 Aplicació al càlcul d'integrals no elementals
3 Vegeu també
4 Referències

[edita] Definició

Si la funció $f (x)$ és desenvolupable en sèrie:

$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{i=\infty }{C_{i}x^{i}}$

I la sèrie és uniformement convergent, llavors la funció $F (x)$ primitiva de $f (x)$ és desenvolupable en sèrie i el seu desenvolupament en sèrie és:

$F(x)=\int{f(x)=}\int{\sum\limits_{i=0}^{i=\infty }{C_{i}x^{i}}}=\sum\limits_{i=0}^{i=\infty }{\int{C_{i}x^{i}}=}\left( \sum\limits_{i=0}^{i=\infty }{\frac{C_{i}}{i+1}x^{i+1}} \right)+C$

On $C$ és una constant d'integració.

[edita] Aplicació al càlcul d'integrals no elementals

Una integral no elemental és una integral per a la qual es pot demostrar que no existeix cap fórmula en termes de funcions elementals (es a dir polinomis, funcions trigonomètriques, exponencials, logarítmiques i productes i composicions d'aquestes funcions). Tal és el cas de les quatre integrals estudiades per en Joseph Liouville: la integral logaritme li(z), la integral sinus si(x), la integrals cosinus ci(x), i la funció error.

[edita] Funció integral logaritme

$li\left( z \right)=\int{\frac{dz}{\log \left( z \right)}=\int{\frac{e^{x}}{x}}}dx=\log x+x+\frac{x^{2}}{2!2}+\frac{x^{3}}{3!3}+\frac{x^{4}}{4!4}+...$

[edita] Funció integral sinus

$si(x)=\int{\frac{\sin (x)}{x}}dx=x-\frac{x^{3}}{3!3}+\frac{x^{5}}{5!5}-\frac{x^{7}}{7!7}+...$

[edita] Funció integral cosinus

$ci(x)=\int{\frac{\cos (x)}{x}}dx=\log x-\frac{x^{2}}{2!2}+\frac{x^{4}}{4!4}-\frac{x^{6}}{6!6}+...$

[edita] Funció error

La funció error tret d'un factor constant.

$\int{e^{-x^{2}}}dx=x-\frac{x^{3}}{1!3}+\frac{x^{5}}{2!5}-\frac{x^{7}}{3!7}+...$

[edita] Vegeu també

Funcions elementals

Integral no elemental

Algorisme de Risch

[edita] Referències

Enciclopèdia Espasa. Article sobre integració. Capítol I integrals indefinides. Apartat 6 Integració per sèries.

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa