Квадратна функция
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа.
Квадратната функция е цяла рационална функция.
Съдържание |
[редактиране] Графика и свойства
Графиката на такава функция с реални коефициенти е парабола, която пресича абцисната ос в точки с координати A(x1,0) и B(x2,0), когато дискриминантата D = b2 − 4ac на квадратното уравнение f(x) = 0 е положителна. Числата x1 и x2 са корени на това уравнение и могат да се намерят по формулата
- .
Върхът на параболата е точката с координати (-b/2a, -D/4a), а оста й е правата с уравнение x = -b/2a, която минава през върха и е успоредна на ординатната ос. Когато коефициентът a е равен на 0, квадратното уравнение f(x) = 0 се свежда до решаване на линейното bx + c = 0, което при b = 0 няма реални корени, а при b, различно от 0, се получава .
При коефициент а ≠ 0 и D = b2 − 4ac = 0 уравнението има един двоен корен, който се изчислява по формулата . В този случай графиката на квадратната функция е парабола, която се допира до абсцисната ос.
Ако дискриминантата на уравнението е отрицателно число, уравнението има само комплексни корени.
За а = 1, b = c = 0 графиката на степенната функция f (x) = x 2 е парабола в нормален вид и върхът й съвпада с координатното начало. Тя е разположена симетрично aспрямо ординатната ос и е отворена към нейната положителна посока.
При a ≠ 1 графиката на функцията f (x) = а x 2 е свита или разтегната относно нормалата парабола в зависимост от това, дали a > 1 или a < 1. Когато a < 0, графиката е огледално отразена спряма абсцисната ос. Графиката на функцията f (x) = x2 + c се получава от параболата в нормален вид чрез преместване на |c| единици в положителна или отрицателна посока в зависимост от знака на с.
Дефиниционната област на квадратната функция f(x) се разпада на два интервала на монотонност.
При a > 0 квадратната функция е намаляваща в интервала (-∞, -b/2a] и е растяща в интервала [-b/2a, ∞). Във всеки от тези интервали квадратната функция има по една обратна функция. Най-малката стойност на функцията е f(-b/2a).
При a < 0 функцията е растяща в интервала (-∞,-b/2a] и е намаляваща в интервала [-b/2a, ∞). Най-голямата стойност на функцията е f(-b/2a).
[редактиране] Разлагане на линейни множители
Когато квадратният тричлен ax2 + b x + c има реални корени x1, x2, т.е. когато D ≥ 0, той може да се разложи на линейни множители с реални коефициенти:
- ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).
При x1 = x2, т. е. при D = 0, имаме
- ax2 + bx + c = a(x − x1)2.
Когато квадратният тричлен няма реални корени, той не може да се представи като произведение на линейни множители с реални коефициенти.
[редактиране] Източник
В. Гелерт, Й. Кестнер, З. Нойбер - Математически енциклопедичен речник, изд. Наука и изкуство, С.,1983.