Función cuadrática

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Una función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.

la representación gráfica en el plano xy haciendo:

$y = f(x) \,$

esto es:

$y = ax^2 + bx + c \,$

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

[editar] Estudio de la función

[editar] Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y = f(0) = a * 0^2 + b * 0 + c \,$

lo que resulta:

$y = f(0) = c \,$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

[editar] Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$

donde:

$(b^2 - 4 a c) \,$

se le llama discriminante, D:

$D = b^2 - 4 a c \,$

según el signo del discriminante podemos distinguir:

D > 0

La ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1, x2

D = 0

La ecuación tiene una solución, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, en la cual es tangente a este eje donde las dos ramas de la parábola confluyen.

D < 0

La ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

[editar] Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

$y = ax^2 + bx + c \,$

calculamos su derivada respecto a x:

$\frac{dy}{dx} = 2ax + b$