Дискриминанта

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Дискриминанта на полином (многочлен) на една променлива е число, което е равно на нула, тогава и само тогава, когато полинома има повтарящ се корен. Точната дефиниция на дискриминантата на полинома

$f(x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$

$D(f) = a_n^{2n-2}\prod_{1 \leq i < j \leq n} \left ( x_i - x_j \right ) ^ 2$

където x₁, x₂, …, x_n са всички n корена на полинома, броени с кратностите им.

[редактиране] Свойства

Дискриминантата е симетричен полином и може да бъде изразена чрез елементарните симетрични полиноми. Последните съгласно формулите на Виет могат да бъдат заменени с коефициентите на изходния полином. Така дискриминантата е полином от коефициентите на многочлена.

Дискриминантата на полинома f е равна на детерминантата на следната (2n − 1)×(2n − 1) матрица

$\left(\begin{matrix} & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0& \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 \\ & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\ & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 \\ \end{matrix}\right)$