Асимптота

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Хиперболата има две асимптоти (в червено)

Тангенсът има безброй много асимптоти (в синьо)

В математиката асимптота на равнинна крива е права, която се приближава неограничено до клон на кривата, но никога не я допира. По този начин в точка от кривата, клоняща към безкрайността, разстоянието между кривата и асимптотата клони към нула.

[редактиране] Уравнения

Нека y = f(x) е дефинирана в неограничена област. Правата l = kx + n се нарича асимптота на f(x), ако е изпълнено

$\lim_{|x| \rightarrow \infty}{[f(x) - (kx + n)]} = 0$ .

Коефициентите k и n се пресмятат по формулите: $k = \lim_{|x| \rightarrow \infty}{\frac{f(x)}{x}}$ и $n = \lim_{|x| \rightarrow \infty}{[f(x) - kx]}$ .

[редактиране] Изключения

От дефиницията на понятието следва, че затворените криви нямат асимптоти, тъй като липсва възможността тяхна точка да клони към безкрайността. Но и сред останалите криви не всички имат асимптоти - например параболата. Трансцендентните криви пък могат да пресичат асимптотите си, и то безброй много пъти, например кривата на затихващото трептене.

[редактиране] История

Въвеждането на термина се приписва на Аполоний (3 в.пр.н.е), макар че неназован присъства още в работите на Архимед. Думата "асимптота" идва от гръцки и се състои от отрицателната частица "α" и думата "συμπτωτος" - "съвпадащ", "сливащ се" ("συμ" - "с", "заедно" и "πιπτω" - "падам"). Прокъл използва този термин, за да обозначава и успоредните прави.

В труда си "Уроци за приложение на инфинитезималното смятане в геометрията" ("Leçons sur l'ápplication du calcul infinitésimal à la géométrie") Огюстен Луи Коши първи предлага метод за намиране на асимптоти на алгебрични криви. Изследванията му са продължени от Леонард Ойлер и Юлиус Плюкер. Исак Нютон първи въвежда криволинейни асимптоти за криви от трета степен.