行列式

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在線性代數，行列式是一個函數，其定義域為 $n \times n$ 的矩陣 $A$ ，值域為一個純量，寫作 $d e t (A)$ 。在本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分学中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用。

行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。

[编辑] 垂直線記法

矩陣 A 的行列式有時也記作 |A|。絕對值和矩陣範數也使用這個記法，有可能和行列式的記法混淆。不過矩陣範數通常以雙垂直線來表示（如： $\|\cdot\|$ ），且可以使用下標。此外，矩陣的絕對值是沒有定義的。因此，行列式經常使用垂直線記法（例如：克萊姆法則和minor）。例如，一個矩陣：

$A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}\,$

行列式 $d e t (A)$ 也寫作 $| A |$ ，或明確的寫作：

$|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}\,$

即矩陣的方括號以細長的垂直線取代。

[编辑] 定義

一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}$

其中

s g n (σ)

是排列

σ

的符號差。

对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线（左上至右下）元素的乘积减去副对角线（右上至左下）元素的乘积（见图中红线和蓝线）。

2阶： $\det \begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix} = ad - bc$
3阶： $\displaystyle \det(A) = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}$ 。

但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n! 项，并不是这样的形式。

[编辑] 二维向量组的行列式

行列式是向量形成的平行四边形的面积

设P是一个二维的有向欧几里德空间，即一个所谓的欧几里德平面。两个向量X和X’的行列式是：

$\det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'\end{vmatrix}=xy'-yx'$

经计算可知，行列式表示的是向量X和X ’形成的平行四边形的有向面积。并有如下性质：

行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线。
如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列（如图）。
行列式是一个双线性映射。也就是说， $\det(aX+bY,X')=a\det(X,X')+b\det(Y,X')\;$ ，

并且

$\det(X,aX'+bY')=a\det(X,X')+b\det(X,Y')\;$ 。

[编辑] 三维向量组的行列式

设E是一个三维的有向欧几里德空间。三个三维向量的行列式是：

$\det(X,X ',X '')=\begin{vmatrix} x & x' &x''\\ y & y'&y''\\ z&z'&z'' \end{vmatrix}=xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z.$

这时的行列式表示X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质：

行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。
这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 $\det(aX+bY,X',X '')=a\det(X,X ',X '')+b\det(Y,X ',X '')\;$ ，对第二、第三个向量也是如此。

[编辑] 基的选择

在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正则基下分解，实际上在不同的基之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，基的变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基下的行列式代表了基变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基，向量组的行列式的值是一样的。也就是说，如果我们选择的基都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基之下，平行六面体的体积是唯一的。

[编辑] 线性变换

经线性映射后的正方体

设E是一个一般的n维的有向欧几里德空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量(x,y,z)被射到向量(x’,y’,z’)：

$\begin{matrix} x'= ax + by +cz\\ y'= dx + ey+fz \\z'=gx+hy+iz \end{matrix}$

其中a、b、c等是系数。如右图，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。

更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。

[编辑] 严格的定义

由二维及三维的例子，我们可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。为了描述一个n维空间中的“平行多面体”的“体积”，行列式首先需要是线性的，这可以由面积的性质得到。这里的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的a倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的a倍。其次，当一个向量在其它向量组成的“超平面”上时，“平行多面体”的“体积”是零（可以想象三维空间的例子）。也就是说，当向量线性相关时，行列式为零。于是可以得出行列式的定义：

[编辑] 向量组的行列式

行列式是 $E n$ 到 $K$ 上的交替多线性形式。

具体来说，设 E 是一个内积空间，一个从 $E n$ 到 $K$ 上的交替多线性形式是指函数 $D:E^n \to K$ ：

- $D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n})$ （多線性）
- $D(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}) = - D(a_{2},a_{1},\ldots,a_{n})$ 或者说，当 $a i = a j$ 的时候 $D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{j},\ldots,a_{n}) = 0$ （交替性）

所有 $E n$ 到 $K$ 上的交替多线性形式的集合记作 A_n(E) 。

定理： A_n(E) 的维度是1，也就是说，设 $B=(e_{1},\dots,e_{n})$ 是 E 的一组基，那么，所有的交替多线性形式 $D:E^n \to K$ 都可以写成 $f(a_1,\dots,a_n )= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n A_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})$

其中 $a_j = \sum_{i=1}^n A_{i,j} e_i$ 是在基B下的展开。

定理的证明

[编辑] 向量组的行列式

设 $B=(e_{1},\dots,e_{n})$ 是 E 的一组基，基 $B$ 的行列式就是唯一的（由定理可知）交替多线性形式 $D:E^n \to K$ 使得：

det B (e 1,..., e n) = 1

于是向量组 $a_1,\dots,a_n$ 的行列式就是 $det_B(a_1,\dots,a_n )= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n A_{\sigma(j),j} \right) det_B(e_{1},\dots,e_{n}) = \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n A_{\sigma(j),j}$

其中 $a_j = \sum_{i=1}^n A_{i,j} e_i$ 是在基B下的展开。

这个公式有时被称作莱布尼兹公式。

[编辑] 基变更公式

设B与B’是向量空间中的两组基，则将上式中的det_B改为det_B’就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系：

$\det{}_{B'}(x_1,\dots, x_n)=\det{}_{B'}(B)\times \det{}_{B}(x_1,\dots, x_n)\,$

[编辑] 矩阵的行列式

設 $M n (K)$ 為所有定義在 $K$ 上的 $n\times n$ 矩陣的集合。將 $n\times n$ 矩陣 A 的元素为A=(a_ij)。將 $n\times n$ 矩陣 M 的 n 行寫成 $a_{1},\ldots,a_{n}$ ，a_j 可以看作是 $\mathbb{R}^n$ 上的向量。于是可以定义矩阵 $A$ 的行列式为向量组 $a_{1},\ldots,a_{n}$ 的行列式，这里的向量都在 $\mathbb{R}^n$ 的正则基上展开，因此矩阵的行列式不依赖于基的选择。

$\det(A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{ \sigma(i),i}$

这样定义的矩阵 A 的行列式与向量组的行列式有同样的性质。单位矩阵的行列式为1，若矩阵的两行线性相关，则行列式为零。

由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：一个矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。

$\det A = \det \left({}^t{A}\right)\,$

也就是说矩阵的行列式既可以看作 n 个行向量的行列式，也可以看作 n 个列向量的行列式。

证明

[编辑] 线性映射的行列式

设 f 是 n 维线性空间 E 到自身的线性变换（线性自同态），f 在 E 的任意一组基下的变换矩阵的行列式都是相等的。设 B 是 E 的一组基。那么 f 的行列式就是 f 在 B 下的变换矩阵的行列式：

$\det{}_B(f(x_1),\dots, f(x_n))=\det f \times \det{}_B(x_1,\dots, x_n)\,$

之前对正方体做变换时， x₁, ..., x_n 是原来的基， $\det{}_B(x_1,\dots, x_n) =1$ ，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式。

证明

特别地，行列式为 1 的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群 GL(E) 的一个子群 SL(E) ，称作特殊线性群。可以证明， SL(E) 是由所有的错切生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换：

$\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & \lambda & \\ & & . & & \\ & & & 1 & \\ & & & & 1 \end{bmatrix}=I_n+\lambda E_{ij}$

也就是说，错切变换保持向量组形成的“平行多面体”的体积。同样，可以证明两个相似矩阵有相等的行列式。

[编辑] 應用

求特徵值：若多項式 $p (x) = det(x I - A)$ ，矩陣 $A$ 的特徵值就是多項式的解。
多變元微積分的代換積分法（參見雅可比矩陣）
在 $n$ 個 $n$ 維實向量所組成的平行多面體的體積，是這些實向量的所組成的矩陣的行列式的絕對值。以此推廣，若線性變換 $f: \Bbb{R}^n \rightarrow \Bbb{R}^m$ 可用 $m \times n$ 矩陣 $A$ 表示， $S$ 是 $R n$ 的可測集，則 $f (S)$ 的體積是 $S$ 的體積的 $\sqrt{\det(A ^T A)}$ 倍。
Wronskian行列式

[编辑] 行列式的基本性質

在行列式中，一行（列）元素全為0，則此行列式的值為0。

$\begin{vmatrix} {\color{blue}0} & {\color{blue}0} & \dots & {\color{blue}0} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = 0$

在行列式中，某一行（列）有公因子k，則可以提出k。

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {\color{blue}k}a_{i1} & {\color{blue}k}a_{i2} & \dots & {\color{blue}k}a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} ={\color{blue}k}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} ={\color{blue}k}D_1$

在行列式中，某一行（列）的每個元素是兩數之和，則此行列式可拆分為兩個相加的行列式。

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {\color{blue}a_{i1}}+{\color{OliveGreen}b_{i1}} & {\color{blue}a_{i2}}+{\color{OliveGreen}b_{i2}} & \dots & {\color{blue}a_{in}}+{\color{OliveGreen}b_{in}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {\color{blue}a_{i1}} & {\color{blue}a_{i2}} & \dots & {\color{blue}a_{in}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ {\color{OliveGreen}b_{i1}} & {\color{OliveGreen}b_{i2}} & \dots & {\color{OliveGreen}b_{in}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$

行列式中的兩行（列）互換，改變行列式正負符號。

$\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\color{blue}a_{i1}} & {\color{blue}a_{i2}} & \dots & {\color{blue}a_{in}} \\ {\color{OliveGreen}a_{j1}} & {\color{OliveGreen}a_{j2}} & \dots & {\color{OliveGreen}a_{jn}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\color{OliveGreen}a_{j1}} & {\color{OliveGreen}a_{j2}} & \dots & {\color{OliveGreen}a_{jn}} \\ {\color{blue}a_{i1}} & {\color{blue}a_{i2}} & \dots & {\color{blue}a_{in}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}$

在行列式中，有兩行（列）對應成比例或相同，則此行列式的值為0。

$\begin{vmatrix} {\color{blue}2} & {\color{blue}2} & \dots & {\color{blue}2} \\ {\color{blue}8} & {\color{blue}8} & \dots & {\color{blue}8} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = 0$

將一行（列）的k倍加進另一行（列）裡，行列式的值不變。

$\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ a_{j1}{\color{blue}+ka_{i1}} & a_{j2}{\color{blue}+ka_{i2}} & \dots & a_{jn}{\color{blue}+ka_{in}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}$

注意：一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改變。

$\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix} {\color{red}\ne}\begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ {\color{red}k}a_{j1}{\color{red}+a_{i1}} & {\color{red}k}a_{j2}{\color{red}+a_{i2}} & \dots & {\color{red}k}a_{jn}{\color{red}+a_{in}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}$

將行列式的行列互換，行列式的值不變。其中，行列互換相當於轉置，記作 $D T = D$ 。

$D=\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{ji} \end{vmatrix} =D^{\textrm{T}}$

例如

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$

[编辑] 其它性質

$\displaystyle \det(AB)=\det(A) \det(B)$
$\det(rA) = \det(rI_n \cdot A) = r^n \det(A)$
若A是可逆矩陣， $\displaystyle \det(A^{-1})= (\det(A) )^{-1}$
設 $A T$ 為 $A$ 的轉置矩陣， $\displaystyle \det(A^T)= \det(A)$
$\det(\overline{A}) = \overline{\det(A)}$ （參見共軛）
若矩陣相似，其行列式相同。
- 行列式是所有特徵值之積。這可由矩陣必和其Jordan標準形相似推導出。

[编辑] 行列式的展开

[编辑] 餘因式(英譯：cofactor)

又稱「餘子式」、「餘因子」。參見主條目 餘因式

对一个 n 阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的 n-1 阶的行列式叫做M关于元素m_ij的餘因式。记作

M i j

。

$M_{ij} = \begin{vmatrix}m_{1,1} & \dots & m_{1,j-1}& m_{1,j+1}& \dots & m_{1,n} \\\vdots & & \vdots & \vdots& &\vdots\\ m_{i-1,1} & \dots & m_{i-1,j-1}& m_{i-1,j+1}& \dots & m_{i-1,n} \\ m_{i+1,1} & \dots & m_{i+1,j-1}& m_{i+1,j+1}& \dots & m_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\ m_{n,1} & \dots & m_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & m_{n,n}\end{vmatrix}$