Determinant

Allikas: Vikipeedia

See artikkel vajab toimetamist.

Determinant on lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari.

Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|.

Sisukord

1 Näide
2 Determinandi põhiomadused
3 Mõisteid
4 Teoreem
5 Ajalugu

[redigeeri] Näide

Teist järku ruutmaatriksi

$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

determinant on

$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ .

Kolmandat järku ruutmaatriksi

$A=\begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{pmatrix}$

determinant on

$\det(A) = \begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} =a \cdot e \cdot i+b \cdot f \cdot g+d \cdot h \cdot c-g \cdot e \cdot c-d \cdot b \cdot i-h \cdot f \cdot a.$

[redigeeri] Determinandi põhiomadused

1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel:

det(A) = det(A T)

2. Kui determinandis üks rida koosneb nullidest, siis on determinandi väärtus null.

3. Kui determinandis on kaks võrdset rida, siis determinant võrdub nulliga.

4. Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga.

$D=\begin{vmatrix}1&3\\2&6\end{vmatrix}=1 \cdot 6-2 \cdot 3=0$

5. Kui determinandis üks rida on esitatav ülejäänud ridade lineaarkombinatsioonina, siis võrdub determinant nulliga.

6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis muutub determinandi märk vastupidiseks.

$D=\begin{vmatrix}3&5\\2&1\end{vmatrix}=-7$

$D=\begin{vmatrix}5&3\\1&2\end{vmatrix}=7$

7. Kui determinandi mingi rea elemente korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga, siis determinandi väärtus suureneb sama arv korda (determinandi reast võib kõigi liikmete ühise nimetaja tuua determinandi märgi ette).

8. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid.

[redigeeri] Mõisteid

Maatriksi A elemendi a_ik miinoriks M_ik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti.

$A=\begin{pmatrix}0&1&2\\3&4&5\\6&7&8\end{pmatrix}$

$M_{11} = \begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=-3$

$M_{21} = \begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}=-6$

$M_{32} = \begin{vmatrix}0&2\\3&5\end{vmatrix}=-6$

Elemendi a_ik algebraliseks täiendiks A_ik nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga "+", kui indeksite summa i+k on paarisarv ja märgiga "-", kui ta on paaritu arv.

A_ik = (-1)^i+kM_ik

$A_{12}=-\begin{vmatrix}3&5\\6&8\end{vmatrix}=-(24-30)=6$

$A_{33}=\begin{vmatrix}0&1\\3&4\end{vmatrix}=-3$

[redigeeri] Teoreem

Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea elementide ja vastavate elementide algebraliste täiendite korrutiste summaga.

$\det(A) = a_{i1}\cdot A_{i1} + a_{i2}\cdot A_{i2} + \ldots + a_{in}\cdot A_{in}$

[redigeeri] Ajalugu

Determinandi mõiste tekkis enne maatriksi mõistet. Algul defineeriti determinanti lineaarvõrrandite süsteemi omadusena. Determinant määrab ehk determineerib, kas võrdse tundmatute ja võrrandite arvuga süsteemil on üksainus lahend (see on nii parajasti siis, kui tundmatute kordajaist moodustatud determinant ei võrdu nulliga). Niiviisi defineeritud teist järku determinante vaatles 16. sajandi lõpus Cardano. Suuremaid determinante vaatles umbes 100 aastat hiljem Leibniz. Gabriel Cramer (1750) täiustas Leibnizi teooriat seoses võrrandisüsteemidega.

See artikkel on pooleli.

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Determinant

Allikas: Vikipeedia

Sisukord

[redigeeri] Näide

[redigeeri] Determinandi põhiomadused

[redigeeri] Mõisteid

[redigeeri] Teoreem

[redigeeri] Ajalugu

Views

Navigeerimiskast

Otsi

Teised keeled