دترمینان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

دترمینان، در جبر خطی به تابعی گفته می‌شود که هر ماتریس مربعی را (به عبارتی هر ماتریس $n\times n$ را) به یک عدد نسبت می‌دهد. دترمینان بیشتر برای تعیین، معکوس ماتریسها استفاده می‌شود، به طوری که اگر دترمینان ماتریسی مخالف صفر باشد، آنگاه آن ماتریس معکوس‌پذیر است. از این رو از طریق دترمینان می‌توان مقادیر ویژه یک ماتریس و یا به عبارت بهتر یک نگاشت خطی را تعیین کرد. مثال دیگر، این توابع، دترمینان ژاکوبی است که در روش تغییر متغیر برای انتگرالهای چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

[ویرایش] تعریف

اگر $A$ یک ماتریس مربعی n-بعدی با اعضای $A i, j$ ( $i,j \in \{1,\cdots, n\}$ ) باشد، آنگاه دترمینان این ماتریس به صورت زیر نوشته می‌شود (نامیده شده به لایبنیتز):

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}$

در اینجا $S n$ ، مجموعهً تمام جابه‌جایی‌های (permutations) ممکن بین اعداد $\{1,\cdots, n\}$ است و $sgn(σ)$ تابعی است که مقدار آن برابر ۱برای جابه‌جایی‌های ( $σ$ ) زوج و برابر $- 1$ برای جابه‌جایی‌های فرد است. در اینجا منظور از زوج و فرد، تعداد تعویض‌های دوتایی می‌باشد، که جابه‌جاییِ $σ$ از آنها ساخته شده است.