ebooksgratis.com

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Determinant - Wikipedie, otevřená encyklopedie

Determinant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A.

Determinantem čtvercové matice řádu n nazýváme součet všech součinů n prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom násobíme čísly r a s, kde r představuje znaménko příslušného pořadí prvních indexů a s znaménko příslušného pořadí druhých indexů.

Obsah

[editovat] Značení

Determinant matice \mathbf{A} s prvky aij zapisujeme jako

\det \mathbf{A}

nebo pomocí prvků jako

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix},

popř. ve zkrácené formě

\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}.

[editovat] Geometrický význam determinantu

[editovat] Matice řádu 2

Matice 2×2

\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}

má determinant

\det\mathbf{A}=ad-bc \,.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), a1=(a,c), a2=(b,d) a (a + b, c + d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů a1 a a2. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory a1 a a2 měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.

[editovat] Matice řádu 3

Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 najdeme i pro matice \mathbf{B}=({b^i}_j) řádu 3. Řádkové vektory

\mathbf{b}_1=({b^1}_1,{b^1}_2,{b^1}_3), \, \mathbf{b}_2=({b^2}_1,{b^2}_2,{b^2}_3), \,\mathbf{b}_3=({b^3}_1,{b^3}_2,{b^3}_3)

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů b1,b2,b3 pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.

[editovat] Matice vyšších řádů

I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, případně jako pravotočivost, respektive levotočivost posloupnosti b1,b2,…,bn.

[editovat] Všeobecná definice a výpočet

Nechť \mathbf{A} = ({a^i}_j) \, je čtvercová matice.

[editovat] Matice řádu 1

Pokud A je matice 1×1, je

\det\mathbf{A} = {a^1}_1 \,

Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.

[editovat] Matice řádu 2

Pokud A je matice 2×2, je

\det\mathbf{A} = {a^1}_1{a^2}_2 - {a^2}_1{a^1}_2 \,

[editovat] Matice řádu 3

Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:

\det\mathbf{A} = {a^1}_1{a^2}_2{a^3}_3 + {a^1}_3{a^2}_1{a^3}_2 + {a^1}_2{a^2}_3{a^3}_1 - {a^1}_3{a^2}_2{a^3}_1 - {a^1}_1{a^2}_3{a^3}_2 - {a^1}_2{a^2}_1{a^3}_3 \,

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

[editovat] Matice vyšších řádů

Pro obecnou matici n×n determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:

\det\mathbf{A} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n {a^i}_{\sigma(i)}

Suma se počítá přes všechny permutace σ čísel {1,2,…,n} a sgn(σ) značí znaménko permutace σ: +1, pokud σ je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.

Tento vzorec obsahuje n! (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem n rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} jako

\det \mathbf{A} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{j_1 1} a_{j_2 2} \cdots a_{j_n n}

[editovat] Postupy výpočtu

[editovat] Gaussova eliminace

Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro i > j je {a^i}_j = 0), neboť pro tu platí

\det\mathbf{A} = {a^1}_1 {a^2}_2 \cdots {a^n}_n \,,

tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.

Při úpravách matice pro výpočet determinantu postupujeme podle těchto pravidel:

  • Pokud B vznikne z A výměnnou dvou řádku nebo sloupců potom \det\mathbf{B} = -\det\mathbf{A} \,
  • Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom \det\mathbf{B} = c\,\det\mathbf{A} \,
  • Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci potom \det\mathbf{B} = \det\mathbf{A} \,

Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.

[editovat] Kofaktorová metoda

Pomocí kofaktorové metody můžeme rozvinout determinant podle řádku či podle sloupce, což je pro relativně malé matice celkem efektivní metoda. Například podle řádku i

\det\mathbf{A} = \sum_{j=1}^n\ {a^i}_j{C_i}^j

kde {C_i}^j jsou kofaktory, tedy {C_i}^j je ( − 1)i + j krát determinant matice, která vznikne z A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Takováto matice se nazývá submatice a determinant k ní příslušný subdeterminant. Ze vzorce je zřejmé, že je nejvhodnější využívat k rozvinutí řádek nebo sloupec, který obsahuje hodně 0. Tato metoda se též označuje jako Laplaceův rozvoj (podle sloupce nebo řádku).

[editovat] Vlastnosti

  • Pokud lze prvky i-tého řádku psát jako c \cdot a_{ij}, pak platí
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c a_{i1} & c a_{i2} & \cdots & c a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = c \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
  • Speciální případ předchozí vlastnosti nastane tehdy, máme-li matici \mathbf{B}, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice \mathbf{A} řádu n číslem c, tzn. b_{ij} = c \cdot a_{ij}. Pak platí
\det \mathbf{B} = c^n \det \mathbf{A}
  • Pro součet dvou determinantů, které se vzájemně liší v jednom řádku platí
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
  • Determinant je antisymetrický vůči vzájemné výměně dvou řádků, popř. vzájemné výměně dvou sloupců. Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se tedy znaménko determinantu změní na opačné.
  • Z předchozích vlastností plyne, že pokud má matice \mathbf{A} dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce, tak musí platit \det \mathbf{A} = - \det \mathbf{A} = 0.
  • Předchozí tvrzení je možné zobecnit na případ, kdy jeden řádek (sloupec) lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců). V takovém případě je determinant nulový.
  • Z předchozího plyne, že pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule.
  • Determinant matice A, kterou získáme z matice B tak, že k libovolnému řádku (sloupci) matice B přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců) matice B, je roven determinantu matice B, tzn. \det \mathbf{A} = \det \mathbf{B}. Přičteme-li tedy k danému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), hodnota determinantu se nezmění.
  • Nulovost, resp. nenulovost determinantu je jeho důležitou vlastností. Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane jen tehdy, když lze jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je hodnost matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice jejíž determinant je nenulový se nazývá regulární.
  • Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky za sloupce. Determinant matice \mathbf{A} je tedy roven determinantu transponované matice \mathbf{A}^T, tzn.
\det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}^T.
  • Součinem determinantů \det \mathbf{A} a \det \mathbf{B} je determinant \det \mathbf{C}, pro který platí
\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix},

kde prvky matice \mathbf{C} jsou dány jedním z následujících vztahů

c_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{kj}, tzn. násobí se řádky matice A s řádky matice B,
c_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{kj}, tzn. násobí se sloupce matice A s řádky matice B,
c_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}, tzn. násobí se řádky matice A se sloupci matice B,
c_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{jk}, tzn. násobí se sloupce matice A se sloupci matice B.

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

  • Lineární algebra: determinanty Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-6. Pro matice řádu 4,5,6 zobrazuje postup výpočtu Laplaceovým rozvojem podle řádků/sloupců zvolených uživatelem.


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -