差分

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差分，又名差分函數或差分運算，是数学中的一个概念。它将原函数 $\ f(x)$ 映射到 $\ f(x+a)-f(x+b)$ 。差分運算，相應於微分運算，是微积分中重要的一个概念。

微积分学
微积分基础函数初等函数极限数列夹挤定理连续间断点一元微积分导数与微分高阶导数介值定理中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式洛必达法则导数的函数应用单调性极值凹凸性曲率积分不定积分积分表三角函数积分表反函数积分表反双曲函数积分表对数函数积分表指数函数积分表无理函数积分表有理函数积分表定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式多元函数积分重积分二重-三重-多重广义重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程差分方程拉普拉斯变换法微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

[编辑] 差分的定义

差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。

[编辑] 前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数 $\ f(x)$ ，如果：

$\ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$ ，

则称 $\ \Delta f(x)$ 为 $\ f(x)$ 的一阶前向差分。在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当 $\ f(x)$ 是多项式时，前向差分为Delta算子，一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低1。

[编辑] 逆向差分

对于函数 $\ f(x)$ ，如果：

$\ \nabla f(x)=f(x)-f(x-1).\,$

则称 $\ \nabla f(x)$ 为 $\ f(x)$ 的一阶逆向差分。

[编辑] 差分的阶

称 $\ \Delta^n [f](x)$ 为 $\ f(x)$ 的 $\ n$ 阶差分，即 $\ n$ 前向阶差分，如果

$\ \Delta^n [f](x)$	$\ = \Delta \{ \Delta^{n-1} [f](x) \}$
	$\ = \Delta^{n-1} [f](x+1) - \Delta^{n-1} [f](x)$

根据数学归纳法，有

$\ \Delta^n [f](x) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (-1)^{n-i} f(x+i)$

其中， $\ {n \choose i}$ 为二项式系数。

特别的，有

$\ \Delta^2 [f](x) = f(x+2) - 2f(x+1) + f(x)$

前向差分有时候也称作数列的二项式变换

[编辑] 差分的性质

对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：

如果C为常数，则有

$\ \Delta C=0$

线性：如果 $\ a$ 和 $\ b$ 为常数，则有

$\ \Delta (af+bg) = a \Delta f + b \Delta g$

乘法定则：

$\ \Delta (fg) = f \Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g$

$\nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f - \nabla f \nabla g$

除法定则：

$\ \nabla \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{1}{g} \det \begin{bmatrix} \nabla f & \nabla g \\ f & g \end{bmatrix} \det {\begin{bmatrix} g & \nabla g \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1}$

或

$\ \nabla\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \nabla f - f \nabla g}{g \cdot (g - \nabla g)}$