夾擠定理
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夾擠定理，又稱挾擠定理、三明治定理、夹逼定理，是有關函數極限的定理。它指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，第三個函數在該點的極限也相同。
設I為包含某點a的區間，f,g,h為定義在I上的函數。若對於所有屬於I而不等於a的x，有：
；
；
則
。
a若在I的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於
，這個定理還是可用的。
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[编辑] 例子
[编辑] x^2 sin (1/x)
在任何包含0的區間上，除了x = 0，f(x) = x2sin(1 / x)均有定義。
對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此f(x)的絕對值也不大於x2。設g(x) = − x2, h(x) = x2：
，根據夾擠定理
。
（注：這個問題不可以用洛必達法則解決。）
[编辑] 求x趨近0時，(sin x)/x
首先用幾何方法證明：若0 < x < π / 2，
。
稱(0,1)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。C在OD上，使得AC垂直OD。過A作單位圓的切線，與OD的延長線交於E。
由定義可得
，tanx = AE。
- AC < AD < arcAD
- sinx < x
- arcAD < AE
- x < tanx
因為
，根據夾擠定理
。
另一邊的極限可用這個結果求出。
[编辑] 高斯函數
高斯函數的積分的應用包括連續傅利葉變換和Normalization。 一般高斯函數的積分是
，現在要求的是
。
被積函數對於y軸是對稱的，因此
是被積函數對於所有實數的積分的一半。
![(2I)^2 = \left[2 \int_{0}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \left[ \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)} dx dy](../../../../math/3/e/6/3e65f91cbf1b46afe4e6f309b8de55a3.png)
這個二重積分在一個( − a, − a),( − a,a),(a, − a),(a,a)的正方形內。它比其內接圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：
[编辑] 證明
[编辑] 極限為0的情況
若
，g(x) = 0，並有
。
設
，根據函數的極限的定義，存在δ > 0使得：若0 < | x − a | < δ，則
。
，則
。
若 0 < | x − a | < δ，則
。於是，
。
[编辑] 一般情況
當x \to a：
- 根據上面已證的特殊情況，可知
。 
。 ■
