Мера множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Мера.

Ме́ра — общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и $n$ -мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.

[править] Определения

[править] Конечно-аддитивная мера

Пусть задано пространство $X$ с выделенным классом подмножеств $\mathcal{F}$ , замкнутым относительно конечных пересечений и объединений. Функция $\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]$ называется конечно-аддитивной мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

$\mu(\varnothing) = 0$ ;
Если $\{E_n\}_{n=1}^{N}\subset\mathcal{F}$ - конечное семейство попарно непересекающихся множеств из $\mathcal{F}$ , т.е. $E_i \cap E_j= \varnothing,\; i\not= j$ , то

$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{N}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{N}\mu(E_n)$ .

[править] Альтернативное определение

Система множеств $σ$ называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к $σ$ множества $A$ и $A_1\subset A$ вытекает возможность представления множества $A$ в виде объединения $A=\bigcup_{k=1}^n A_k$ , где $A k$ — попарно непересекающиеся множества из $σ$ , первое из которых есть заданное множество $A 1$ .

Функция множества $μ(A)$ называется мерой, если:

область определения $σ μ$ функции $μ(A)$ есть полукольцо множеств.
значения $\mu(A)\geq 0$
$μ(A)$ — аддитивна, т.е. для любого конечного разложения $A=A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n$ , $A_i\cap A_j = \varnothing$

будет выполнено $\mu(A)=\sum_{k=1}^n \mu(A_k)$

[править] Счётно-аддитивная мера

Пусть задано пространство $X$ с выделенной σ-алгеброй $\mathcal{F}$ . Функция $\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]$ называется счётно-аддитивной (или σ-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

$\mu(\varnothing) = 0$ ;
(σ-аддитивность) Если $\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathcal{F}$ - счётное семейство попарно непересекающихся множеств из $\mathcal{F}$ , т.е. $E_i \cap E_j =\varnothing,\; i\not= j$ , то

$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$ .

[править] Замечания

Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
Если мера всего пространства конечна, т.е. $\mu(X) < \infty$ , то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.
На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с $σ$ -алгебры, порождаемой открытыми множествами, на множество всех подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры. Ни для одного из нетривиальных евклидовых пространств не существует какого-либо счётно-аддитивного расширения лебеговой меры на множество всех его подмножеств.